Решения Математический бой № 2, 7 класс (стр. 2 )

6.  В треугольнике ABC, где ÐB = 2ÐC, проведена биссектриса AD. Оказалось, что CD = AB. Найдите угол A. (Индия, региональная олимпиада, 2001)

Ответ: 72°. Пусть BE ¾ биссектриса угла B. Тогда ÐEBC = ÐC, откуда BE = EC. Следовательно, треугольники DCE и ABE равны по первому признаку, откуда AE = ED. Значит, ÐBAD = ÐEAD = ÐEDA, то есть отрезки ED и AB параллельны. Но тогда ÐBED = ÐABE = ÐCBE, откуда DE = DB. Таким образом, AE = ED = DB, то есть AEDB ¾ равнобедренная трапеция, и потому ÐA = ÐB = 2ÐC. Отсюда по теореме о сумме углов треугольника находим, что ÐC = 36°, а ÐA = 72°.

7.  Каково наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, каждое из которых равно произведению двух простых чисел?

Ответ: три.

Пример 33, 34, 35.

Оценка: если взять четыре последовательных числа, то одно из них будет делиться на 4, что противоречит условию.

8.  Внучка выкопала на огороде 45 репок, веса которых – все натуральные числа от 1 до 45. Могла ли внучка дать по 15 репок деду и бабке так, чтобы выполнилось следующее условие: какие бы две своих репки ни положили на одну чашку весов дед и бабка – по одной каждый, внучка сможет положить на другую чашку весов одну или две свои репки так, чтобы весы уравновесились?

Ответ. Могла. Приведём один из возможных примеров. Пусть дед получил репки с весами 1, 4, 7, . . . , 43, бабка – с весами 2, 5, 8, . . . , 44, а у внучки остались репки с весами 3, 6, 9, . . . , 45 (иначе говоря, веса внучкиных репок делятся на 3, веса дедкиных дают остаток 1, а веса бабкиных – остаток 2 при делении на 3). Тогда сумма весов двух репок (бабки и деда) будет делиться на 3, и будет принимать значения от 1 + 2 = 3 до 43+44 = 87 = 29 ·3. Веса от 3 до 45 внучка может уравновесить одной своей репкой, а веса от 48 = 45+3 до 87 = 45+42 – двумя репками.

8 КЛАСС Решения день 2

9.  В 12 часов Маша и Саша пошли на прогулку по набережной. Через четверть часа Маша вспомнила, что забыла на тумбочке у входа мобильник. Саша сбегал за ним и догнал Машу в 13:00. Во сколько Саша был у Маши дома? Считаем, что Маша шла все время с постоянной скоростью. Саша тоже бежал с постоянной скоростью.

Ответ: Саша был в доме Маши в 12:24.

Будем считать, что скорость Маши составляет 4 единицы расстояния в час. За первую часть пути они с Сашей прошли 1 единицу. После этого до встречи с Сашей она прошла 45 минут, а он – 5 единиц (одну до дома и 4 до Маши). При этом путь до дома составил 1 единицу. Значит, он был в доме через 45 : 5 = 9 (мин).

10.  В ряд выписаны числа от 1 до 2016 в порядке возрастания. Можно ли между ними расставить знаки + и – так, чтобы значение полученного выражения было точным квадратом натурального числа?

Ответ: можно. Указание: расставьте знаки между числами 1, 2, 3, 4, например, так: 1 + 2 – 3 + 4 (чтобы в сумме получилось 4). Остальные числа разбейте на четвёрки подряд идущих чисел, и в каждой четвёрке a, (a + 1), (a + 2), (a + 3) расставляйте знаки так, чтобы сумма была равна 0. Например, так: +a − (a + 1) − (a + 2) + (a + 3) = 0.

11.  Даны три числа. Если их все увеличить на 1, то их произведение тоже увеличится на 1. Если все исходные числа увеличить на 2, то их произведение тоже увеличится на 2. На сколько увеличится произведение, если все исходные числа увеличить на 3?

Ответ: на 9.

Обозначим изначально данные числа a, b и c. Тогда из условий задачи (a+1)(b+1)(c+1)=abc+1 и (a+2)(b+2)(c+2)=abc+2. Обозначим ab + bc + ca =x и a + b + c = y. После раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых получим, что x + y = 0, 2x + 4y = – 6, откуда x = 3, y = –3. Тогда нужная нам разность равна (a+3)(b+3)(c+3) – abc = 3x + 9y + 27 = 3∙3 + 9∙(–3) + 27 = 9.

12.  Есть восемь одинаковых по виду монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

Первое взвешивание: монеты {a1, a2, a3, a4} и монеты {a1, a2, a3, a4}. Второе взвешивание: монеты {a1, a2} и {a3, a4}.

если в обоих случаях равенство, то искомые монеты – a1 и a2;

если сначала равно, а затем неравно, то a1 и a3;

если {a1, a2, a3, a4} < {a1, a2, a3, a4} (для определенности) и {a1, a2} = {a3, a4}, то искомые монеты – a1 и b1;

наконец, если {a1, a2} < {a3, a4}, то искомые монеты – a3 и a4.

13.  Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD равны. Точка E такова, что ÐEAB = ÐECD. Известно, что точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC. Докажите, что точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD.

Точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC тогда и только тогда, когда AE = EC. Треугольники BAE и DCE равны по двум сторонам и углу между ними. Это означает, что равны их третьи стороны BE = ED и точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD.

14.  В треугольнике ABC, где ÐB = 2ÐC, проведена биссектриса AD. Оказалось, что CD = AB. Найдите угол A. (Индия, региональная олимпиада, 2001)

Ответ: 72°. Пусть BE ¾ биссектриса угла B. Тогда ÐEBC = ÐC, откуда BE = EC. Следовательно, треугольники DCE и ABE равны по первому признаку, откуда AE = ED. Значит, ÐBAD = ÐEAD = ÐEDA, то есть отрезки ED и AB параллельны. Но тогда ÐBED = ÐABE = ÐCBE, откуда DE = DB. Таким образом, AE = ED = DB, то есть AEDB ¾ равнобедренная трапеция, и потому ÐA = ÐB = 2ÐC. Отсюда по теореме о сумме углов треугольника находим, что ÐC = 36°, а ÐA = 72°.

15.  В группе из 100 человек каждый имеет не более 10 знакомых среди остальных. Докажите, что можно выбрать 10 человек, никакие двое из которых не знакомы друг с другом.

Поместим всех в одну комнату. Выберем любого человека A и удалим из комнаты всех, кто с ним знаком. Останется не менее 89 человек (не считая A) и никто из них не знаком с A. Из них выберем человека B, после чего удалим из комнаты всех, кто с ним знаком. Останется не менее 78 человек, и все они не знакомы с A и B. Снова выберем из них человека (C), удалим из комнаты его знакомых, и так далее. Продолжая этот процесс, наберем 10 человек, никакие двое из которых не знакомы.

16.  Внучка выкопала на огороде 45 репок, веса которых – все натуральные числа от 1 до 45. Могла ли внучка дать по 15 репок деду и бабке так, чтобы выполнилось следующее условие: какие бы две своих репки ни положили на одну чашку весов дед и бабка – по одной каждый, внучка сможет положить на другую чашку весов одну или две свои репки так, чтобы весы уравновесились?

Ответ. Могла. Приведём один из возможных примеров. Пусть дед получил репки с весами 1, 4, 7, . . . , 43, бабка – с весами 2, 5, 8, . . . , 44, а у внучки остались репки с весами 3, 6, 9, . . . , 45 (иначе говоря, веса внучкиных репок делятся на 3, веса дедкиных дают остаток 1, а веса бабкиных – остаток 2 при делении на 3). Тогда сумма весов двух репок (бабки и деда) будет делиться на 3, и будет принимать значения от 1 + 2 = 3 до 43+44 = 87 = 29 ·3. Веса от 3 до 45 внучка может уравновесить одной своей репкой, а веса от 48 = 45+3 до 87 = 45+42 – двумя репками.

9 класс подгруппа А

1.  На остров, где живут только рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут), приехал мудрец (он может и говорить правду, и лгать). Во время обеда за круглым столом, кроме него, сидел еще 21 местный житель. Каждый сидящий за столом (включая мудреца) сказал: «Человек, который сидит справа от меня, - лжец». Сколько всего рыцарей сидит за столом?

Ответ: 10 рыцарей. Решение. Рассмотрим человека, который сидит слева от мудреца. Он сказал, что мудрец (а именно он сидит справа от него) – лжец, но это неверно. Таким образом, слева от мудреца сидит лжец. Слева от этого лжеца обязательно должен сидеть рыцарь, т. к. его утверждение является правдой. Рассуждая дальше аналогично, получаем, что лжецы и рыцари чередуются. Так как их всего 21 человек, а началась цепочка с лжеца, то она и закончится лжецом. Поэтому лжецов за столом 11 человек, а рыцарей – 10.

2.  На доске записано число 123456789. У написанного числа выбираются две соседние ненулевые цифры, из каждой из них вычитается по единице, и выбранные цифры меняются местами. Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

Ответ: 101010101. Решение. Заметим, что при выполнении каждой операции не меняется четность цифры, стоящей на каждом месте. В самом деле, вначале у нас было число 123456789, т. е. число вида НЧНЧНЧНЧН (Н - нечетная цифра а Ч – четная). Если мы возьмем пару соседних цифр, скажем НЧ, то при уменьшении этих цифр на 1 получится пара ЧН, а при смене местами снова получится пара НЧ. Аналогично, если мы возьмем пару соседних цифр вида ЧН, то при уменьшении этих цифр на 1 получится пара НЧ, а при смене местами снова получится пара ЧН. Итак, в процессе выполнения операций число все время будет иметь вид НЧНЧНЧНЧН. Минимальным числом такого вида является число 101010101. Осталось показать, что число 101010101 получить можно. Для этого достаточно в исходном числе 123456789 применить два раза нашу операцию к паре соседних цифр 2 и 3, применить четыре раза операцию к паре соседних цифр 4 и 5, шесть раз к паре соседних цифр 6 и 7, и наконец восемь раз к паре соседних цифр 8 и 9.