Решения Математический бой № 2, 7 класс (стр. 3 )

3.  Докажите, что в треугольнике площади найдется биссектриса, длина которой не превосходит 1.

Решение. Покажем, что если длина каждой из биссектрис треугольника больше 1, то его площадь больше . Пусть А – наибольший угол треугольника АВС, удовлетворяющего условию задачи. Проведем его биссектрису AD, а через точку D – перпендикуляр к прямой ВС. Он отсечет от угла А равнобедренный треугольник AEF (рис. 7). Поскольку наибольший угол треугольника всегда не меньше 60°, его половины DAE и DAF – не меньше 30°, откуда DE = = DF = DA×tgÐDAF > 1×tg30° = . Значит, площадь треугольника AEF, равная DF×AD, больше, чем . Осталось заметить, что площадь треугольника AEF не больше площади треугольника АВС. В самом деле, пусть точка F лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС, а точка Е – на его стороне АВ. Перпендикуляр, опущенный на прямую EF из точки C, очевидно, не длиннее, чем перпендикуляр, опущенный на ту же прямую из точки B. Поэтому площадь треугольника DBE не меньше площади треугольника DFC. Но, переходя от треугольника DEF к треугольнику ABC, мы прибавляем первую и вычитаем вторую.

4.  На столе лежит куча из 2016 камней. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из четырех камней?

Ответ: нельзя. Решение: предположим противное. Рассмотрим величину, равную сумме числа камней и числа куч. В начале она равна 2016 и не меняется при наших действиях, а в конце должна делиться на 5 – противоречие.

5.  Три прямоугольника с соответственно параллельными сторонами пол­ностью покрывают стороны данного треугольника. Докажите, что они покрывают и сам треугольник.

Пусть какая-то точка A не покрыта. Проведем из нее две прямые, параллельные сторонам прямоугольников. Каждая из них пересекает стороны треугольника в двух точках (всего четыре). Какие-то две из них (пусть C и D) принадлежат одному прямоугольнику P. Если это две точки одной прямой, то все точки отрезка, соединяющего C и D, включая A, покрыты P. Если это точки разных прямых, то если точка A не покрыта P, то граница P проходила бы между точек A и C и тогда C и D лежали бы в разных полуплоскостях, и одна из них прямоугольнику P не принадлежала бы.

6.  Положительное число x таково, что [x] • {x} = 100. Чему может равняться число [x2] — [x]2?

Заметим, что x2 = ([x]+{x})2 = [x2]+2[x] {x}+{x}2 = [x]2+200+{x}2 . Очевидно, 0 < {x} < 1. Учитывая, что 200 и [x]2 — целые числа, получаем [x2] = [x]2 + 200 и следовательно [x2] — [x]2 = 200.

7.  В группе из 100 человек каждый имеет не более 10 знакомых среди остальных. Докажите, что можно выбрать 10 человек, никакие двое из которых не знакомы друг с другом.

Поместим всех в одну комнату. Выберем любого человека A и удалим из комнаты всех, кто с ним знаком. Останется не менее 89 человек (не считая A) и никто из них не знаком с A. Из них выберем человека B, после чего удалим из комнаты всех, кто с ним знаком. Останется не менее 78 человек, и все они не знакомы с A и B. Снова выберем из них человека (C), удалим из комнаты его знакомых, и так далее. Продолжая этот процесс, наберем 10 человек, никакие двое из которых не знакомы.

8.  Докажите, что биссектриса треугольника не может делиться точками ее пересечения с вписанной окружностью на три равные части.

Решение. Предположим противное. Пусть I – центр вписанной окружности, биссектриса AL треугольника ABC делится точками пересечения со вписанной окружностью на три равные части. Тогда I - середина AL и в треугольнике BAL биссектриса BL является медианой, отсюда , то есть прямые BL и AC параллельны – противоречие.

9 класс, подгруппа Б

1. На остров, где живут только рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут), приехал мудрец (он может и говорить правду, и лгать). Во время обеда за круглым столом, кроме него, сидел еще 21 местный житель. Каждый сидящий за столом (включая мудреца) сказал: «Человек, который сидит справа от меня, - лжец». Сколько всего рыцарей сидит за столом?

Ответ: 10 рыцарей. Решение. Рассмотрим человека, который сидит слева от мудреца. Он сказал, что мудрец (а именно он сидит справа от него) – лжец, но это неверно. Таким образом, слева от мудреца сидит лжец. Слева от этого лжеца обязательно должен сидеть рыцарь, т. к. его утверждение является правдой. Рассуждая дальше аналогично, получаем, что лжецы и рыцари чередуются. Так как их всего 21 человек, а началась цепочка с лжеца, то она и закончится лжецом. Поэтому лжецов за столом 11 человек, а рыцарей – 10.

2.  На доске записано число 123456789. У написанного числа выбираются две соседние ненулевые цифры, из каждой из них вычитается по единице, и выбранные цифры меняются местами. Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

Ответ: 101010101. Решение. Заметим, что при выполнении каждой операции не меняется четность цифры, стоящей на каждом месте. В самом деле, вначале у нас было число 123456789, т. е. число вида НЧНЧНЧНЧН (Н - нечетная цифра а Ч – четная). Если мы возьмем пару соседних цифр, скажем НЧ, то при уменьшении этих цифр на 1 получится пара ЧН, а при смене местами снова получится пара НЧ. Аналогично, если мы возьмем пару соседних цифр вида ЧН, то при уменьшении этих цифр на 1 получится пара НЧ, а при смене местами снова получится пара ЧН. Итак, в процессе выполнения операций число все время будет иметь вид НЧНЧНЧНЧН. Минимальным числом такого вида является число 101010101. Осталось показать, что число 101010101 получить можно. Для этого достаточно в исходном числе 123456789 применить два раза нашу операцию к паре соседних цифр 2 и 3, применить четыре раза операцию к паре соседних цифр 4 и 5, шесть раз к паре соседних цифр 6 и 7, и наконец восемь раз к паре соседних цифр 8 и 9.

3. На шахматной доске 8 х 8 расставлено несколько фишек. Докажите, что можно выбрать 4 строки и 4 столбца таким образом, чтобы число фишек, стоящих на 16 клетках, образующихся при их пересечениях, делилось на 4.

Выберем 4 первых столбца. Пусть а1, ..., а8 — количества фишек в пересечениях этих столбцов с первой, ..., восьмой строчками. Докажем, что сумма каких-то четырех из этих восьми чисел делится на 4. Действительно, из них можно выбрать не менее 3 пар чисел одной четности (останется не более одного четного и одного нечетного числа). Какие-то две суммы чисел в этих трех парах дают одинаковый четный остаток от деления на 4, тогда сумма этих четырех чисел будет делиться на 4.

4. На столе лежит куча из 2016 камней. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из четырех камней?

Ответ: нельзя. Решение: предположим противное. Рассмотрим величину, равную сумме числа камней и числа куч. В начале она равна 2016 и не меняется при наших действиях, а в конце должна делиться на 5 – противоречие.

5. Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем дважды одну прямую проводить нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число кусков, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Кто выиграет при правильной игре – тот, кто ходит первым, или его партнер,– и как ему для этого надо играть?

Ответ: Партнер. Решение. После того, как первый игрок проведет первую прямую, его партнер должен провести параллельную прямую. Если первый своим вторым ходом проведет прямую, параллельную этим двум, то второй затем проведет прямую, параллельную трем проведенным, и выиграет, потому что плоскость после этого поделится на 5 кусков. Если же первый вторым ходом проведет прямую, пересекающую две проведенные, то второй выиграет, проведя четвертую прямую так, как показано на рис., так как после этого плоскость будет поделена на 10 кусков.

6. По кругу записано 2015 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

Решение: проведем стрелку от a к b, если a делится на b (если a и b равны, то поставим стрелочку произвольно). Тогда всего 2015 стрелочек. Поскольку стрелочек нечетное число, то есть две подряд идущие стрелочки, направление на которых одинаково. Но это значит, что a делится на b, а b делится на с. Значит, a делится на с.

7.  Три друга решили пообедать. У первого 3 бутерброда, у второго пять, а у третьего еды не было, и он решил заплатить своим друзьям за обед 8 долларов. Как должны разделить между собой эти деньги первый и второй, если бутерброды были поделены на троих поровну?

Ответ: Первый должен получить 1 доллар, а второй – 7. Решение. Пусть x - цена одного бутерброда. Третий, заплатив 8 долларов, съел бутерброды стоимостью 8x/3, т. е. 8=8x/3, x=3 доллара. Значит, у первого пассажира бутербродов было на 9 долларов, а у второго – на 15. Обед для каждого обошёлся в 8 долларов, следовательно, у первого должен остаться 9–8=1 доллар, а у второго 15–8=7 долларов.

8.  Докажите, что биссектриса треугольника не может делиться точками ее пересечения с вписанной окружностью на три равные части.