Решения Математический бой № 2, 7 класс (стр. 1 )

Решения Математический бой № 2, 7 класс

1.  Две космических ракеты вылетают одновременно навстречу друг другу из точек, находящихся на расстоянии 20152016 км. Одна из них летит со скоростью 12000 км/ч, другая — со скоростью 18000 км/ч. На каком расстоянии они будут за минуту до встречи?

Ответ: 500 км. Ракеты сближаются со скоростью равной сумме их скоростей, то есть со скоростью 30000 км/ч. За 1/60 часа с этой скоростью будет пройдено км.

2.  В некотором месяце три понедельника пришлись на нечётные числа. Каким днём недели могло быть 21 число этого месяца?

Ответ: воскресение или пятница. Обозначим a – число на которое пришелся первый понедельник месяца. Следующие понедельники могут прийти на числа a +7, a + 14, a + 21, a+ 28 (a +35 в другом месяце). В ряде натуральных чисел a, a +7, a + 14, a + 21, a+ 28 четность чисел чередуется. Значит, тремя нечетными числами могут быть числа a, a + 14 и a+ 28. Это возможно, если a = 1 или a = 3. Если a = 1, то 1+21 тоже понедельник и 21-го воскресение, если a =3, то 3+21 тоже понедельник и 21-го пятница.

3.  Из чисел a, b и c одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что a² = b²(b – c). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? (Почему?)

Ответ: b > 0, a < 0 и c = 0. Во-первых, если b = 0, то a = 0. Во-вторых, если a = 0, то поскольку b ≠ c получим, что b = 0. Значит, c = 0 и a² = b3. Если b < 0, то и a² < 0 противоречие. Итак, получаем c = 0, b > 0 и a < 0.

4.  На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут. Всем жителям острова задали вопрос: "Верно ли, что рыцарей на острове больше половины?" В результате ровно половина жителей ответила на этот вопрос утвердительно. Кого на острове больше – рыцарей, или лжецов?

Ответ: Поровну.

Если бы рыцарей на острове в самом деле было больше половины, то все они ответили бы на вопрос утвердительно, что противоречит условию задачи. Значит, утвердительно на вопрос отвечали лжецы, и их на острове ровно половина.

5.  Дан равносторонний треугольник ABC точка M внутри него. Всегда ли можно составить треугольник из отрезков MA, MB и MC.

Ответ: да, всегда. Для отрезков MA, MB и MC требуется заметить неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других). Продолжим отрезок AM до пересечения со стороной BC в точке N. Сумма углов ANB и ANC равна 180 градусов, значит один из этих углов тупой или прямой. Пусть это угол ANB. В треугольнике ABN угол N больше угла B, значит, AN < AB. Кроме того, по неравенству треугольника BC < BM + MC. Итак, AM < AN < AB = BC < BM + MC.

6.  Высота АН и биссектриса BL треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что угол ВАН равен 18 градусов, а угол ВСА – 54 градуса. Найдите угол АСМ.

Ответ: 360. Считаем углы в прямоугольном треугольнике AHB: , отсюда . Значит, в треугольнике ABC углы A и C равны. Биссектриса BL является высотой и медианой. В свою очередь ML высота и медиана в треугольнике AMC, значит, треугольник равнобедренный и остается вычислить.

7.  В ряд выложены карточки с числами 1, 2, 3, …., 25. Можно ли разложить их на 7 стопок так, чтобы какую-либо пару стопок не взять найдутся по числу в каждой стопке, отличающиеся на 1.

Ответ: да, можно. Будем формировать стопки с карточками в вершинах правильного семиугольника. Первый рисунок показывает, что в любой паре соседних стопок есть две карточки, отличающиеся на 1 (для числа 7 число 8 в соседней вершине на втором рисунке). Второй – в любой паре стопок, расположенных через одну. Третий – через две. Числа 23, 24 и 25 можно поместить в любую стопку. Итак, распределение по стопкам: {1, 8, 15, 22}, {2, 12, 20}, {3, 9, 18}, {4, 13, 16}, {5, 10, 21}, {6, 14, 19}, {7, 11, 17, 23, 24, 25}.

8.  На какое наибольшее число нулей может оканчиваться произведение трех трехзначных чисел, для записи которых использовалось девять различных цифр?

Ответ: пять нулей. Пример: . Проверка . Оценка. Пусть A, B, C трехзначные числа, для записи которых использовались различные цифры. Для делимости на 5 необходимо, чтобы число оканчивалось на цифру 5 или на 0. Значит, не более двух из них делятся на 5. При этом если такое число одно, то оно делится не более чем на 54 (натуральное число, делящееся на 55 не менее чем четырёхзначное) и всё произведение оканчивается не более чем на четыре нуля. Допустим, что число A оканчивается на 5, а число B на 0. Заметим, что B не может делиться на 25. Действительно, если число B делится на 25 и оканчивается на 0, то и в при четном числе b появляется второй ноль, при нечетном – вторая цифра 5. Таким образом, число A делится не более чем на четвертую степень числа 5, а B не более чем на первую.

Решения 7-8 день 2

1.  В 12 часов Маша и Саша пошли на прогулку по набережной. Через четверть часа Маша вспомнила, что забыла на тумбочке у входа мобильник. Саша сбегал за ним и догнал Машу в 13:00. Во сколько Саша был у Маши дома? Считаем, что Маша шла все время с постоянной скоростью. Саша тоже бежал с постоянной скоростью.

Ответ: Саша был в доме Маши в 12:24.

Будем считать, что скорость Маши составляет 4 единицы расстояния в час. За первую часть пути они с Сашей прошли 1 единицу. После этого до встречи с Сашей она прошла 45 минут, а он – 5 единиц (одну до дома и 4 до Маши). При этом путь до дома составил 1 единицу. Значит, он был в доме через 45 : 5 = 9 (мин).

2.  В ряд выписаны числа от 1 до 2016 в порядке возрастания. Можно ли между ними расставить знаки + и – так, чтобы значение полученного выражения было точным квадратом натурального числа?

Ответ: можно. Указание: расставьте знаки между числами 1, 2, 3, 4, например, так: 1 + 2 – 3 + 4 (чтобы в сумме получилось 4). Остальные числа разбейте на четвёрки подряд идущих чисел, и в каждой четвёрке a, (a + 1), (a + 2), (a + 3) расставляйте знаки так, чтобы сумма была равна 0. Например, так: +a − (a + 1) − (a + 2) + (a + 3) = 0.

3.  Даны три числа. Если их все увеличить на 1, то их произведение тоже увеличится на 1. Если все исходные числа увеличить на 2, то их произведение тоже увеличится на 2. На сколько увеличится произведение, если все исходные числа увеличить на 3?

Ответ: на 9.

Обозначим изначально данные числа a, b и c. Тогда из условий задачи (a+1)(b+1)(c+1)=abc+1 и (a+2)(b+2)(c+2)=abc+2. Обозначим ab + bc + ca =x и a + b + c = y. После раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых получим, что x + y = 0, 2x + 4y = – 6, откуда x = 3, y = –3. Тогда нужная нам разность равна (a+3)(b+3)(c+3) – abc = 3x + 9y + 27 = 3∙3 + 9∙(–3) + 27 = 9.

4.  Есть восемь одинаковых по виду монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

Первое взвешивание: монеты {a1, a2, a3, a4} и монеты {a1, a2, a3, a4}. Второе взвешивание: монеты {a1, a2} и {a3, a4}.

если в обоих случаях равенство, то искомые монеты – a1 и a2;

если сначала равно, а затем неравно, то a1 и a3;

если {a1, a2, a3, a4} < {a1, a2, a3, a4} (для определенности) и {a1, a2} = {a3, a4}, то искомые монеты – a1 и b1;

наконец, если {a1, a2} < {a3, a4}, то искомые монеты – a3 и a4.

5.  Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD равны. Точка E такова, что ÐEAB = ÐECD. Известно, что точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC. Докажите, что точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD.

Точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC тогда и только тогда, когда AE = EC. Треугольники BAE и DCE равны по двум сторонам и углу между ними. Это означает, что равны их третьи стороны BE = ED и точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD.