Тема 8. Механические колебания (стр. 2 )

.

Воспользовавшись известной формулой приведения , получим:

. (9.8)

Таким образом, как кинетическая, так и потенциальная энергия частицы изменяется во времени с частотой, равной удвоенной частоте колебаний. Из сопоставления равенств (9.6А) и (9.8) следует, что фаза потенциальной энергии меньше на рад фазы кинетической энергии. Иначе говоря, изменение кинетической и потенциальной энергии происходит в противофазах: если первая из них максимальна, другая имеет минимальное значение, и наоборот. Легко видеть, что суммарная энергия частицы в любой момент времени имеет постоянное значение:

. (9.8А)

Этот результат понятен, поскольку колебания частицы происходят под действием квизиупругой силы, которая относится к числу консервативных.

Далее рассмотрим примеры конкретных колебательных систем и найдем период их свободных гармонических колебаний.

8.2. Пружинный, математический и физический маятник

Пружинный маятник представляет собой тело, прикрепленное к легкой пружине, подвешенной вертикально или закрепленной одним концом на гладкой горизонтальной поверхности. Если тело вывести из положения равновесия, сжав либо растянув пружину, и затем отпустить, в системе возникнут свободные гармонические колебания.

Рассмотрим пружинный маятник, расположенный горизонтально вдоль оси . Пусть левый конец пружины закреплен неподвижно, правый ее конец и тело массой в положении устойчивого равновесия (пружина не деформирована) имеет координату, равную нулю (рис. 9.2,а). В этом случае

Рис. 9.2

сила упругости отсутствует, сумма силы тяжести и нормальной реакции поверхности также равна нулю (на рисунке они не показаны). Если же тело отклонить от положения равновесия, растянув пружину, возникает сила упругости (рис.9.2,б). Поскольку в этом случае правый конец пружины имеет координату , проекция силы упругости на ось (здесь - коэффициент жесткости пружины), сумма силы тяжести и нормальной реакции поверхности по-прежнему равна нулю. В соответствии с этим динамическое уравнение движения тела имеет вид:

.

Разделив его на массу тела и обозначив , получим уравнение, совпадающее с (9.6). Следовательно, тело будет совершать свободные гармонические колебания с циклической частотой

.

Математический маятник представляет собой частицу массой , подвешенную на невесомой нерастяжимой нити (рис. 9.3,а). В положении устойчивого равновесия равнодействующая сил тяжести и натяжения равна нулю. При отклонении нити маятника от вертикали возникает момент силы тяжести, стремящейся вернуть маятник в положение равновесия. На рис. 9.3,а видно, что модуль момента , где - плечо силы

Рис. 9.3

относительно точки подвеса. Поскольку , проекция момента силы тяжести на ось , проходящую через точку (на рисунке она не изображена),

.

В соответствии с (4.7А) динамическое уравнение вращательного движения маятника имеет вид:

(9.10)

(здесь - момент инерции маятника относительно оси). Приравняем (9.10) к нулю и разделим на момент инерции:

. (9.11)

Учтем также, что для малых отклонений нити от вертикали , и введем обозначение

. (9.12)

В итоге равенство (9.11) примет вид:

. (9.13)

Таким образом, мы получили для математического маятника уравнение, структура которого соответствует дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (см. (9.6)). Следовательно, циклическую частоту и период колебаний можно найти из условия (9.12):

, , . (9.14)

Учтем, наконец, что . Подставив это выражение в (9.14), получим:

.

Физический маятник представляет собой протяженное тело, имеющее ось вращения, проходящую через любую точку тела, за исключением центра масс (рис. 9.3,б). При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращающий момент силы тяжести, стремящейся вернуть тело в исходное состояние. Проекция момента на ось (на рисунке она не показана) . Здесь - масса тела, - плечо силы тяжести. Подставив в это равенство (- расстояние от оси вращения до центра масс), получим:

.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний физического маятника имеет вид, аналогичный (9.10):

(здесь - момент инерции тела относительно оси). Если ввести обозначение и учесть, что при малых углах , уравнение примет вид:

.

Следовательно, для циклической частоты и периода колебаний физического маятника имеем:

, . (9.15)

Легко видеть, что формулу (9.15) можно представить по-иному:

.

Величина

(9.16)

называется приведенной длиной физического маятника; она численно равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний. По теореме Штейнера (здесь - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс). Подставив это выражение в (9.16), имеем:

,

т. е. приведенная длина всегда больше .

8.3. Сложение гармонических колебаний

Под сложением колебаний следует понимать выявление закона результирующего колебательного движения в том случае, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях. При этом необходимо различать два предельных случая: сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных колебаний.