Тема 8. Механические колебания (стр. 1 )

ТЕМА 8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

8.1. Свободные гармонические колебания

Механическим колебанием называется движение, которое в той или иной мере повторяется с течением времени. Тело или совокупность тел, совершающих колебательное движение, представляет собой колебательную систему. Свободными называются колебания, происходящие под действием внутренних сил колебательной системы. Если же колебания обусловлены действием периодически изменяющейся внешней силы, они называются вынужденными.

Механические колебания называются периодическими, если движение, совершаемое колебательной системой, повторяется через равные промежутки времени (период колебаний). Следовательно, период колебаний – это промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание; в соответствии с этим единицей измерения периода в системе СИ является 1 секунда (с). Частотой называется физическая величина, численно равная количеству колебаний, совершаемых в единицу времени. Из определения следует, что , где - частота, - период колебаний. Легко видеть, что единицей измерения частоты является 1 с-1, которая называется 1 Герц (Гц). Кроме частоты в физике используется также циклическая (круговая) частота , численно равная количеству колебаний в течение секунд. В качестве единицы измерения циклической частоты используется 1 радиан в секунду (рад/с).

Амплитудой механических колебаний называется неотрицательная величина, численно равная максимальному отклонению колебательной системы от положения устойчивого равновесия. Если отклонение от положения равновесия меняется с течением времени по закону синуса или косинуса, колебания называются гармоническими:

, .

Эти равенства представляют собой кинематические уравнения, или закон колебаний (здесь - величина отклонения, - амплитуда, - циклическая частота). Выражения в скобках, т. е. аргументы синуса и косинуса, называются фазой колебания: , . Соответственно значение фазы в момент называется начальной фазой ( или ). В качестве единицы измерения фазы используется 1 радиан (рад).

Гармонические колебания можно изображать с помощью векторных диаграмм; сущность этого метода иллюстрируется рис. 9.1. В координатной плоскости из начала координат отложен вектор , модуль которого равен амплитуде, а угол - начальной фазе колебаний. Если вектор вращается против часовой стрелки относительно точки с угловой

Рис. 9.1

скоростью , то . В соответствии с этим проекции вектора на координатные оси изменяются во времени по гармоническому закону , , т. е. как бы «совершают гармонические колебания».

Для того чтобы в колебательной системе были возможны свободные гармонические колебания, она должна иметь положение устойчивого равновесия. Кроме того, при увеличении отклонения колебательной системы из этого положения модуль возвращающей силы также должен увеличиваться. Нетрудно показать, что эта сила является квазиупругой, т. е. ее модуль зависит от величины отклонения по линейному закону подобно силе упругости при деформации тел. Для этого рассмотрим частицу, совершающую гармонические колебания вдоль оси относительно начала координат в соответствии с кинематическим уравнением

. (9.1)

По второму закону Ньютона

, (9.2)

где - проекция силы, действующей на частицу, - проекция ее ускорения на ось . Продифференцировав дважды равенство (9.1) по времени, имеем:

. (9.2А)

Вторая производная координаты частицы представляет собой проекцию ее ускорения на соответствующую координатную ось:

; (9.3)

поэтому . Легко видеть, что множитель, выделенный в последнем выражении в смысловые скобки – это координата частицы, характеризующая ее отклонение от положения равновесия. Следовательно,

, (9.4)

т. е. проекция силы, действующей на частицу (а также ее модуль), действительно имеет линейную зависимость от величины отклонения. Обозначив , перепишем (9.4) в виде

, (9.5)

что по форме совпадает с законом Гука для упругой силы.

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение колебаний этой же частицы, сделаем в (9.2) замену (9.3) и (9.4):

.

Разделим последнее равенство на массу частицы и обозначим

. (9.5А)

В результате этого имеем:

. (9.6)

Последнее равенство, содержащее функцию и ее производную второго порядка, представляет собой дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний частицы вдоль оси .

Далее найдем кинетическую энергию колебательного движения частицы по формуле . Заменив здесь согласно (9.6) скорость первой производной координаты частицы, получим:

. (9.6А)

Для того чтобы найти потенциальную энергию, воспользуемся соотношением (3.14) между энергией и силой, действующей на частицу: . Так как колебания происходят вдоль оси , это соотношение упрощается, т. е.

.

Поскольку , , . Проинтегрировав последнее равенство, получим:

. (9.7)

При нулевом смещении частицы из положения равновесия сила, действующая на нее, равна нулю. Если считать, что потенциальная энергия частицы при этом также равна нулю, из равенства (9.7) следует, что . Заменим в (9.7) координату частицы согласно (9.1) и учтем, что постоянная интегрирования равна нулю: