Тема 8. Механические колебания (стр. 4 )

( и - целые положительные числа), траектории движения частицы представляют собой сложные замкнутые линии, которые называются фигурами Лиссажу.

8.4. Затухающие колебания

Затухание колебаний проявляется в постепенном уменьшении их амплитуды, обусловленном потерей механической энергии колебательной системой вследствие наличия сил трения и сопротивления окружающей среды.

Пусть частица массой совершает свободные колебания вдоль оси под действием квазиупругой силы при наличии сопротивления среды. Будем считать, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости частицы: (здесь - коэффициент сопротивления). По второму закону Ньютона . Поскольку

, ,

имеем:

. (9.25)

Введем обозначения

, (9.26)

и сделаем в (9.25) замену (9.26):

. (9.27)

Полученное равенство представляет собой дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний; в случае слабого затухания () его решение можно представить в виде

. (9.31А)

Здесь

(9.31Б)

представляет собой циклическую частоту затухающих колебаний, - коэффициент затухания, и – амплитуда и фаза в момент , – частота незатухающих колебаний. Численные значения и находятся из значений координаты и скорости частицы в момент начала колебаний (т. н. начальные условия). Легко видеть, что амплитуда уменьшается с течением времени по закону

; (9.31Б)

график функции (9.31А) для представлен на рис. 9.7.

Далее рассмотрим основные характеристики затухающих колебаний – логарифмический декремент затухания, время релаксации и добротность колебательной системы.

Временем релаксации называется промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз. По определению

Рис. 9.7

имеем:

.

Следовательно, время релаксации численно равно величине, обратной коэффициенту затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний в моменты времени и :

.

Поскольку , имеем:

.

Учитывая, что , находим соотношение между логарифмическим декрементом затухания и временем релаксации:. Отношение дает количество колебаний, в результате которых амплитуда уменьшается в раз: . Следовательно, .

Добротностью колебательной системы называется величина

.

Из определения следует, что добротность обратно пропорциональна потерям механической энергии за один период. Согласно формуле (9.8А) полная энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Поэтому

.

Сделаем в этом выражении замену (9.31Б) и выполним ряд тождественных преобразований:

.

В математике доказывается, что для малых значений переменной справедливо приближенное равенство . Поэтому в случае небольшого затухания (малые значения ) . Следовательно,

.

Поскольку , имеем: .

В случае значительного затухания () движение имеет апериодический (непериодический) характер: частица, выведенная из положения устойчивого равновесия, возвращается обратно, не совершая колебаний. На рис. 9.8 показаны два возможных варианта поведения

Рис. 9.8

колебательной системы при апериодическом движении. Если, отведя частицу из положения равновесия, отпустить ее без толка (не сообщая никакой скорости), движение к равновесному положению будет происходить в соответствии с кривой 1. Если же выведенной из положения равновесия частице сообщить определенную скорость, возвратное движение происходит согласно кривой 2.

8.5. Вынужденные колебания

Вынужденными называются механические колебания, происходящие под действием периодически изменяющейся внешней силы.

Пусть внешняя сила, действующая на частицу, направлена вдоль оси и изменяется по гармоническому закону с частотой : (здесь- максимальная сила). На частицу действует также квазиупругая сила и сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости: . Динамическое уравнение движения частицы имеет вид:

.

Разделим это уравнение на массу частицы и заменим производной :

.

Обозначив , , , получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний: