Тема 8. Механические колебания (стр. 3 )

Сложение колебаний одного направления. Пусть частица участвует в двух колебательных движениях с одинаковой частотой вдоль оси : , . Закон результирующего колебания представляет собой зависимость от времени координаты частицы; поэтому

.

Амплитуду и фазу колебания можно найти, воспользовавшись методом векторных диаграмм (см. рис. 9.4). Здесь показаны векторы амплитуд и

Рис. 9.4

в момент времени , когда , . Результирующему колебанию в этот же момент времени соответствует вектор . Поскольку он вращается относительно начала координат с той же угловой скоростью, что и складываемые векторы, результирующее колебание также будет происходить с частотой . При этом, в соответствии с правилами векторной алгебры (см. п.1.1),

.

Здесь , - проекции на оси системы координат вектора , , - проекции вектора . Следовательно,

. (9.17)

Фазу результирующего колебания найдем из условия

, .

Нетрудно убедиться в том, разность фаз колебаний, входящая в равенство (9.17), не изменяется с течением времени (такие колебания называются когерентными). Действительно,

().

При этом, если , из (9.17) получается, что

.

Следовательно, если складываемые колебания совершаются в противофазах, они ослабляют друг друга. В случае, когда , амплитуда результирующего колебания равна нулю. Если же , (фазы колебаний совпадают), , т. е. колебания усиливают друг друга.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть частица совершает колебания одновременно вдоль оси и с одинаковой частотой:

, . (9.20)

Система уравнений (9.20) представляет собой уравнение траектории движения частицы, заданное в параметрической форме; в качестве параметра здесь выступает переменная . Исключив эту переменную из (9.20), можно получить уравнение траектории в виде . Для этого обозначим фазы этих колебаний и , и перепишем 9.20:

, . (9.21)

Если выполнить ряд тождественных преобразований, можно получить:

. (9.22)

Поскольку частоты складываемых колебаний одинаковы, разность и, соответственно, и - это постоянные величины (числа). В математике доказывается, что равенство вида (9.22) представляет собой уравнение эллипса, центр симметрии которого совпадает с началом системы

координат (рис.9.6,а). Ориентация эллипса относительно координатных осей определяется численным значением разности .

Таким образом, при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты траектория движения частицы представляет собой, вообще говоря, эллипс. Рассмотрим далее некоторые частные случаи.

Рис. 9.6

1. Пусть . В этом случае , =0, уравнение траектории принимает вид:

. (9.23)

Легко видеть, что последнее уравнение эквивалентно уравнению

, т. е. .

Последнее равенство представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 9.6,б); угол наклона этой прямой относительно оси абсцисс определяется условием

.

Поскольку по определению , этот угол всегда острый. Следовательно, если , частица совершает колебательное движение с частотой вдоль отрезка прямой с амплитудой .

2.  Пусть . В этом случае из равенства (9.22) следует, что

, (9.24)

т. е. уравнение эллипса с осями симметрии, совпадающими с координатным осям. Если , из (9.24) получается уравнение окружности .

Таким образом, при условии частица будет двигаться по эллиптической или круговой траектории с циклической частотой . Если же частоты складываемых колебаний не совпадают, причем