Тема 8. Механические колебания (стр. 5 )

. (9.32)

В математике доказывается, что общее решение такого уравнения представляет собой сумму двух функций:

. (9.33)

Первая из них является общим решением соответствующего однородного уравнения, которое получается из (9.32), если его правую часть положить равной нулю:

.

Легко видеть, что в этом случае мы имеем дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Вторая функция в (9.33) представляет собой любое частное решение неоднородного уравнения (9.32). Из структуры решения уравнения (9.33) следует, что вынужденные колебания развиваются в два этапа. На начальной стадии, называемой переходным режимом, колебания происходят с частотой затухающих колебаний (этой стадии соответствует первое слагаемое в (9.33)). В течение переходного режима, длительность которого сравнима со временем релаксации, амплитуда затухающих колебаний уменьшается до нуля и устанавливаются вынужденные колебания с частотой , описываемые вторым слагаемым в (9.33). Кинематическое уравнение установившихся колебаний частицы имеет вид:

. (9.34)

Здесь – амплитуда установившихся колебаний, – сдвиг фаз между колебаниями частицы и изменением внешней силы:

, . (9.37)

Из равенств (9.37) следует, что амплитуда и сдвиг фаз вынужденных колебаний зависят от . В частности, если , из (9.37) можно найти статическое смещение частицы, т. е. ее отклонение от положения равновесия в случае отсутствия колебаний:

.

Если же , амплитуда колебаний стремится к нулю, т. е. частица не успевает раскачиваться относительно положения равновесия. Для того чтобы найти частоту, при которой амплитуда колебаний максимальна, необходимо исследовать подкоренное выражение знаменателя равенства (9.37) на минимум:

.

Полученное уравнение имеет два корня: и . Первый их них соответствует случаю отсутствия колебаний; при этом амплитуда численно равна статическому смещению частицы. Второй корень представляет собой частоту, при которой амплитуда колебаний максимальна.

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний в случае приближения частоты изменения внешней силы к частоте собственных колебаний называется механическим резонансом. Численное значение частоты , при которой наступает резонанс, называется резонансной частотой. Легко видеть, что если, резонансная частота совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний. Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты (амплитудно-резонансные кривые) для возрастающих значений приведены на рис. 9.10.

Рис. 9.10

Здесь видно, что величина максимальной амплитуды и значения резонансной частоты уменьшаются по мере увеличения коэффициента затухания.

Далее рассмотрим зависимость от частоты сдвига фаз. Из формулы (9.37) видно, что если (колебаний нет) , если же , имеет место неопределенность типа . Раскроем ее по правилу Лопиталя,

продифференцировав числитель и знаменапо переменной :

.

Легко видеть, что при значение стремится к нулю, оставаясь меньше нуля; следовательно, . В случае резонанса, т. е. если , ; поэтому . Графики зависимости сдвига фаз от частоты (фазово-резонансные кривые) для двух значений коэффициента затухания приведены на рис. 9.11.

Рис. 9.11