(МАИ (ТУ))
(МГУПП)
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТИПОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ПРОЦЕССЕ КОМПЬЮТЕРНОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
В современных системах геометрического моделирования (СГМ) используются три класса геометрических моделей: каркасная или проволочная, поверхности и твердого тела.
Системы каркасного моделирования. Первыми в СГМ стали использоваться каркасные модели, конструктивными элементами которых являются ребра и точки. В системах каркасного моделирования форма представляется в виде набора характеризующих ее линий и конечных точек. Линии и точки используются для представления трехмерных объектов на экране, а изменения формы осуществляются путем изменения положения и размеров отрезков и точек. Другими словами, виртуальная модель представляет собой каркасную проекцию формы, а соответствующее математическое описание представляет собой набор уравнений кривых, координат точек и сведения о связности кривых и точек. Сведения о связности описывают принадлежность точки к конкретным кривым, а также пересечение кривых друг с другом.
Такие модели просты, но с их помощью можно моделировать ограниченный класс объектов, аппроксимирующими поверхностями, в этом случае, являются плоскости или квадрики.
В твердотельном моделировании каркасные модели преимущественно используются:
– для описания геометрически простых объектов;
– как промежуточные при операциях взаимного преобразования моделей высокого уровня и в некоторых других случаях.
Основной областью применения каркасных моделей является двумерное моделирование.
Каркасные модели в основном применяются в системах малой и средней производительности. Особенностью каркасной модели является то, что для ее описания используются геометрические объекты первого порядка – линии или ребра. Каркасные модели применяются, как правило, для задания объектов, представляющих собой полиэдры или объекты, получаемые перемещением образующей, которая фиксируется в некоторых положениях.
Трехмерная модель в этом случае содержит список координат вершин полиэдра с указанием связей между ними. В случае использования каркасных моделей для представления объектов, ограниченных сложными поверхностями, в системах малой производительности для отображения таких объектов на экранах графических дисплеев прибегают к ряду условностей. Например, цилиндрические или конические поверхности аппроксимируют плоскими гранями или вводят псевдоребра. При этом формируется не реальное, а условное изображение объекта. Следует также отметить, что каркасное представление часто используется не при моделировании, а при отображении моделей как один из методов визуализации. Можно получить каркасные представления твердотельных объектов или объектов, ограниченных криволинейными поверхностями. В соответствии с этим отличают изображения объектов, представленные точечным, линейным дискретным и сетчатым каркасами.
Системы средней и высокой производительности позволяют воспроизводить изображения объектов, использующих каркасные модели, с необходимым для восприятия количеством графических элементов. Имеются классы задач САПР, где проволочные модели являются достаточными для получения решения, например, системы анализа движения роботов, проверки корректности программ управления ими. Проволочная модель геометрии робота обрабатывается компьютером практически в реальном времени, и это позволяет проследить динамику его действий.
Системы моделирования поверхностей. В системах поверхностного моделирования математическое описание виртуальной модели включает в себя не только сведения о характеристических линиях и их конечных точках, как в каркасном моделировании, но и данные о поверхностях. В процессе работы с отображаемой на дисплее моделью при ее изменении соответственно изменяются уравнения поверхностей, уравнения кривых и координаты конечных точек.
Математическое описание может включать в себя сведения о связности поверхностей, то есть о том, как поверхности соединяются друг с другом и по каким кривым. В некоторых приложениях эти сведения оказываются очень полезными.
Если к поверхностям сложной формы проектируемых объектов предъявляются особые требования, то используют системы геометрического моделирования криволинейных поверхностей.
Формирование математических моделей поверхностей осуществляется методами аппроксимации, обеспечивающими получение поверхности с необходимыми локальными характеристиками. Поверхностное моделирование осуществляется на основе двух следующих положений:
– допускается, что любую поверхность можно аппроксимировать многогранником, каждая грань которого является простейшим плоским многоугольником (в таком случае модель иногда называют полигональной);
– наряду с плоскими многоугольниками в модели допускается использование поверхностей второго порядка и криволинейных аналитически неописываемых поверхностей, форму которых можно определить с использованием различных методов интерполяции или аппроксимации (как уже было отмечено, стандартом являются параметрические сплайн-поверхности).
Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество при их числовой обработке, т. к. при этом используются простые математические методы. Недостатком метода является то, что сохранение формы и размеров проектируемого объекта зависит от числа граней многогранника, используемого для аппроксимации каждой поверхности. Чем больше число граней, тем меньше отклонение от действительной формы объекта. Отсюда вытекает еще один недостаток: с увеличением числа граней в многограннике одновременно повышается и объем информации, необходимой для получения внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается время манипулирования внутримашинным представлением объекта и соответствующий ему размер памяти.
При построении поверхностной модели объекта предполагается, что он ограничен поверхностями, которые отделяют его от остальной части операционного пространства. Некоторая поверхность (грань) объекта ограничена ребрами, которые являются результатом пересечения (или касания) двух других поверхностей (граней). Точки объекта задаются как результат пересечения трех его граней. Поверхностные модели часто используют вместе с каркасными для описания поверхностей сложного объекта, которые невозможно определить автоматически только по каркасной модели. Однако такая гибридная модель (каркасная плюс поверхностная) не обеспечивает однозначности, которая позволяла бы определять, ограничивают ли заданные поверхности некоторое тело. В настоящее время поверхностное моделирование является основным видом описания объектов в большинстве систем геометрического моделирования.
Системы моделирования твердых тел. Системы твердотельного моделирования предназначены для работы с объектами, состоящими из замкнутого объема. В системах твердотельного моделирования, в отличие от систем каркасного и поверхностного моделирования, не допускается создание наборов поверхностей или характеристических линий, если они не образуют замкнутого объекта. Математическое описание объекта, созданного в системе твердотельного моделирования, содержит сведения, по которым система может определить, где находится какая-либо точка: внутри объема, снаружи него или на его границе. По этим сведениям можно получить любую информацию об объеме тела, а значит, могут быть написаны приложения, работающие с объектом на уровне твердого тела, а не на уровне поверхности.
Геометрической моделью объекта самого высокого уровня безусловно является объемная модель, или модель твердого тела. Конструктивными элементами такой модели являются точка, ребро и поверхность. При создании модели формируют сетевую структуру данных из конструктивных элементов и связей между ними. Например, узлом структуры является точка пересечения трех ребер, ребро всегда принадлежит двум поверхностям, поверхность всегда принадлежит телу. Кроме этого в модели содержится информация о материале объекта и некоторые другие характеристики (технологические, функциональные и т. д.). Первоначально в твердотельном моделировании использовались операции только с каркасными моделями и графическими примитивами. Тела при этом ограничивались простыми аналитическими поверхностями (плоскостями, квадриками), описанными в неявной форме.
В системах твердотельного моделирования применяются самые разнообразные методы конструирования объектов.
Один из самых распространенных методов, особенно в системах, ориентированных на технологическую, подготовку производства, – кинематический. Средствами, принятыми в системах двумерной компьютерной графики, задается произвольный замкнутый контур, который может перемещаться по некоторой задаваемой траектории или вращаться. В результате выполнения операций вращения или перемещения формируется кинематическая модель твердого тела.
В системах, ориентированных на конструирование, когда объект проектирования собирается из некоторых конструктивных, функциональных, технологических элементов простой формы, применяют метод синтеза объектов из объемных базовых элементов формы типа прямоугольный параллелепипед, цилиндр, усеченный конус, призма и т. п. При таком методе синтеза объектов над геометрическими объектами могут производиться операции, близкие к теоретико-множественным операциям объединения, вычитания, пересечения. В результате такого синтеза формируется модель конструктивной объемной геометрии или структурная модель, представляющая собой граф, вершины которого отображают элементы, ребра – операции.
На Рис. 1 приведен пример синтеза геометрического объекта с использованием базовых элементов формы. На Рис. 1а приведено изображение модели объекта, состоящего из трех элементов: бруса А1 и двух цилиндров А2, A3 (справа показан результат синтеза, когда цилиндр A3 добавляется в модель). На Рис. 1б показан результат синтеза для структурной модели, в которой цилиндр A3 вычитается.
Рис. 1. Синтез структурной модели тела.
В системах, где конструктор создает проекционные изображения конструируемых объектов, можно применять метод реконструкции. Он заключается в том, что три. (или более) проекции объекта позиционируются таким образом, чтобы можно было однозначно решить задачу восстановления трехмерной модели объекта по его проекциям. С помощью специальных алгоритмов, относящихся к области распознавания образов, в памяти компьютера может быть реконструирована модель объекта в граничном представлении.
В приведенной ниже таблице показаны возможности трех типов геометрических моделей при выполнении некоторых типовых операций с точки зрения пользователя системы (Таблица 1).
Таблица 1.
Возможности различных типов моделей
при выполнении некоторых операций
Операция | Тип модели | ||
Каркасная | Поверхностная | Объемная | |
Геометрические расчеты (объем, длина) | Трудны или невозможны | Трудны или невозможны | Возможны |
Генерация видов | Для контроля | Для визуального контроля | Возможна |
Удаление невидимых линий | Вручную | Зависит от способа задания поверхности | Возможно |
Разрезы | Для контроля | Для контроля | Возможны |
ЧПУ | Для контроля | Возможна автоматизация | Возможны |
Размерные цепи, допуски | Для контроля | Возможны | Возможны |
Проверка пересечений | Визуальная | Визуальная (все объемы не определены) | Возможна |
Возможность контроля изготовления | Нет | Нет | Да |
Измерения | Некоторые виды (например, расстояния между точками) | Некоторые виды (например, расстояния между точками и вычисление площадей) | Возможны |
Твердотельная модель позволяет представлять сложные изделия с обеспечением логической связности информации, в частности, благодаря введению понятия о материале.
