,

г. Пермь, ПГПУ

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ РИМАНА

В развитии геометрии принято выделять четыре периода [3]. Переход к каждому последующему характеризовался качественным скачком. Один из них произошел в середине XIX. Событием, способствующим этому, было открытие «неевклидовой геометрии». Связано оно с V постулатом Евклида. Ученые установили, что заменив обычный, и казалось бы, единственный способ, как считали до этого, V постулат его отрицанием, можно развить чисто логическим путем геометрическую теорию такую же стройную и богатую содержанием, как и евклидова.

В начале XIX в. ученые России, Венгрии и Германии осуществили иной подход к построению геометрии. Выделили четыре группы аксиом евклидовой геометрии (соединения, порядка, конгруэнтности, непрерывности), совокупность которых составила абсолютную геометрию. Она дополнялась одним из возможных отрицаний аксиомы параллельности. Дальнейшие построения привели к неевклидовым геометриям Лобачевского, впоследствии и Римана. Исследования в каждой из них и полученные результаты позволили решить наиболее принципиальные геометрические проблемы XIX столетия.

Из всего многообразия геометрических систем наше внимание привлекла эллиптическая геометрия Римана. Первое упоминание о ней относится к 1854 году, когда немецкий ученый выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», в которой последняя рассматривалась как частный случай теории римановых пространств в широком смысле [2].

В статье речь пойдет об одном из возможных построений этой геометрии – аксиоматическом. Изучение литературы, относящейся к данной тематике и выполнение построения послужили основой для написания спецкурса, связанного с изучением и построением разных видов неевклидовых геометрий.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для построения эллиптической геометрии, прежде всего, необходимо было указать тот фундамент, на котором она выполняется. При этом учитывалась возможность нескольких подходов: аналитического, тензорного и аксиоматического. В основу первого положен метод координат, при котором в выбранной системе координат каждой упорядоченной паре действительных чисел ставится в соответствие точка и наоборот. После этого рассматривались геометрические места точек, которые описываются уравнениями с двумя неизвестными или их системами; изучались и другие геометрические фигуры. Второй, осуществленный в первой половине прошлого столетия, был основан на результатах тензорного исчисления, предметом изучения которого являлись дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей дифференцируемого многообразия и общие геометрические объекты.

Наконец, формирование третьего – аксиоматического подхода в его современном понимании – происходило на протяжении нескольких тысячелетий. Фундаментом при таком построении явились группы аксиом (соединения, порядка, конгруэнтности, непрерывности), образующих абсолютную геометрию. В зависимости от того, каким предложением их дополняют, получают евклидову или неевклидовы геометрии [1].

Добавляя к аксиомам абсолютной геометрии отрицание V постулата, по которому в плоскости через точку, не инцидентную данной прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной, в результате дальнейших построений получают эллиптическую геометрию Римана [3]. Первоначальными понятиями в ней являются точка, прямая и плоскость, отношения между которыми описываются аксиомами. Она состоит из четырех групп:

I – аксиомы соединения. К ним относятся все аксиомы, составляющие I группу системы аксиом Гильберта, и, кроме того, добавляется еще одна: каждым двум различным прямым в плоскости принадлежит одна и только одна инцидентная им прямая.

II – аксиомы порядка точек на прямой. Они описывают понятие «разделенности двух пар точек прямой», с помощью которого определяется порядок точек на прямой.

III – аксиома непрерывности.

IV – аксиомы конгруэнтности, описывающие отношение «конгруэнтности» для геометрических объектов.

Первая группа содержит 9 аксиом. С их помощью были доказаны теоремы. Одной их них, в частности, является: две различные плоскости всегда пересекаются по прямой, других общих точек у них нет. Доказательство: пусть и – две данные плоскости. Показывается, что они пересекаются по одной прямой (рис. 1). Выделяют на плоскости прямую a. По уже доказанной теореме (две различные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются) прямая а и плоскость имеют общую точку А, следовательно А – общая для плоскостей и . По аксиоме I.7 (если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку), существует еще одна общая точка В. По аксиоме I.1 (каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через точки) существует прямая, проходящая через точки А и В. Наконец, по аксиоме I.6 (если две точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на этой плоскости) прямая АВ принадлежит плоскостям и , являясь общей для них.

Далее доказано, что других общих точек плоскости не имеют. Допустим, что существует еще одна точка В' общая для и , не лежащая на прямой АВ. Тогда получается, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходят две различные плоскости, что противоречит аксиоме I.5 (каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки). Тем самым теорема доказана.

При рассмотрении второй группы, состоящей из шести аксиом, введено понятие порядка точек на прямой. В римановой геометрии оно отлично от геометрий Евклида и Лобачевского, так как прямая в ней устроена так же, как и окружность. В отличие от прямых в упомянутых выше геометриях, она не разбивается одной точкой на два множества. Такое разбиение произойдет, если из такой прямой (или из окружности) удалить две точки. Для того чтобы установить порядок точек на римановой прямой, нужно исходить не из трех, а из четырех ее точек (рис. 2).

Далее вводились определение разделенности пар точек: пара AB разделяет пару CD, если при удалении из окружности точек А и В точки С и D оказываются принадлежащими двум различным (открытым) дугам, на которые точки A и B разбивают окружность. Пара AC не разделяет пару BD, так как при удалении из окружности точек A и С точки B и D оказываются лежащими на одной дуге.

Для установления порядка точек на прямой в качестве первоначального было введено понятие разделенности двух пар точек. Как и в первой группе аксиом, для второй доказывались теоремы, вводились определения геометрических объектов (отрезка, угла, треугольника и др.). Именно с этого этапа начинается построение самой геометрии; выделяются существенные ее отличия от двух упомянутых выше. Аналогично тому, что никакая точка М не разбивает прямую на две части, справедливо утверждение: никакая прямая не разбивает плоскость таким же образом.

В этой же группе был введен принцип двойственности, который и дальнейшем сыграл большую роль не только при формулировке утверждений различного вида, но и позволил уменьшить число доказываемых теорем.

К третьей группе аксиом относится аксиома непрерывности: если две внутренние точки отрезка АВ римановой прямой разбиты на два класса так, что:

– в каждом классе содержится хоть одна точка;

– каковы бы ни были две точки М1 и М2, принадлежащие соответственно перовому и второму классу, и АМ2 разделяет пару ВМ1; то в одном из двух классов найдется точка М такая, что АМ разделяет пару ВМ и пара ВМ разделяет АМ2 (рис. 3).

Заметим, что первые три группы аксиом римановой геометрии составляют аксиоматику проективной геометрии [4].

Специфика римановой геометрии, вытекающая из аксиом соединения и порядка, существенно повлияла на формулировку четвертой группы (аксиом конгруэнтности), состоящей из девяти утверждений. С опорой на них доказывались теоремы, выяснялись следствия из них. В частности, среди шести теорем конгруэнтности треугольников, доказывалась теорема о равенстве треугольников по трем углам. Рассматривалась также теорема о внешнем угле треугольника, учитывая, что этот угол может быть меньше, равен или больше каждого из внутренних углов, не смежных с ним.

Далее были определены полюс, поляра, окружность и дефект треугольника в римановой геометрии. Рассматривались полярные, взаимно полярные автополярные треугольники. Применяя принцип двойственности, формулировались и доказывались теоремы, описывающие свойства этих объектов. В этой геометрии важным в преобразовании плоских фигур является теорема о взаимно полярных треугольниках: для любого данного треугольника существует вполне определенный треугольник такой, что вершины одного и прямые сторон другого, углы одного и стороны другого являются взаимно полярными (рис. 4).

Введение этой группы аксиом, позволило решать метрические задачи, связанные с нахождением длины отрезка, градусной меры углов, площадей треугольника и многоугольника. В результате такого построения, были получены утверждения, абсолютно отличные от геометрий Евклида и Лобачевского. Вместе с тем имеются и такие, которые справедливы в каждой из них. К их числу относится теорема о том, что длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Из нее следует математический факт, что среди всех линий, соединяющих две данные точки отрезок – самый короткий. В римановой геометрии обычным образом доказывалось, что около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Однако, так как три точки, не лежащие на одной прямой, определяют в ней четыре различных треугольника, то отсюда следовало, что в данной геометрии через три точки могут быть проведены четыре различные окружности (рис. 5).

Из каждой группы аксиом при дальнейших построениях будут получаться новые утверждения, выражающие свойства основных понятий данной геометрии. Но возникает вопрос: будет ли ее система аксиом удовлетворять основным требованиям (непротиворечивость, минимальность и полнота)? Требования к системе аксиом отчетливо представлено в «Основаниях геометрии» Д. Гильберта (1899).

Программа спецкурса предполагает построение модели для доказательства непротиворечивости системы аксиом. Требование минимальности, заключающееся в доказательстве того, что принятая система аксиом не допускает исключения каких-либо ее требований с сохранением того же объема следствий из нее в целом, то есть является минимальной. Решить эту проблему, значит доказать, что каждое положение системы аксиом не зависит от остальных, то есть не может быть получено из них логическим путем. Поэтому для того чтобы доказать, что аксиома А системы не может быть выведена из остальных, достаточно реализовать на модели все аксиомы, за исключением А. Заметим, что моделями могут служить евклидова и проективная плоскости, эллиптическая связка сфер и др.

Попытку обосновать существование различных метрических геометрий предпринял Г. Гельмгольц (1821 – 1894) в работе, написанной вскоре после появления результатов Б. Римана. Основными понятиями, которыми оперирует метрическая геометрия, Гельмгольц дал физическое истолкование. В основу метрических свойств пространства он положил некоторые физические законы, из которых вытекает возможность построения геометрии этого пространства и, как показал Б. Риман, определяет все внутренние свойства его.

Материалы спецкурсов такого рода позволяют представить обучаемым многообразие геометрического мира и увидеть, что эллиптическая геометрия Римана занимает достойное место среди других геометрических дисциплин, имеет свою специфику и приложения.

Библиографический список

1.  Ефимов Н.В. Высшая геометрия / . - М.: Физматгиз, 1961.

2.  Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии / . - М.: Наука, 1976.

3.  Математический энциклопедический словарь / гл. ред. . М.: Советская энциклопедия, 1988.

4.  И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии / . М.: Гостехиздат, 1965.