Тема 9. Волны в упругих средах (стр. 2 )

Здесь – функция трех пространственных координат и времени, которая по сути представляет собой уравнение волны, - скорость ее распространения. Можно сказать, что функция получается в результате интегрирования (решения) волнового уравнения.

Волновое уравнение можно представить в более компактном виде, если воспользоваться оператором Лапласа:

.

Подействовав этим оператором на функцию (10.6), получим:

.

С учетом этого равенства волновое уравнение (10.7) можно переписать следующим образом:

.

9.2. Фазовая и групповая скорость волн

Пусть в упругой среде вдоль оси распространяется плоская синусоидальная волна

.

Предположим, что фаза колебаний, вызванных этой волной, в точке среды с координатой в момент времени имеет значение :

.

Выразив из этого равенства переменную , мы находим тем самым зависимость от времени координаты точки среды, в которой фаза колебаний имеет именно это значение:

. (10.8)

Иначе говоря, равенство (10.8) представляет собой закон, по которому фаза колебаний, имеющая значение , «перемещается» вдоль оси абсцисс. Исходя из этого понятно, что производная координаты по времени дает нам скорость перемещения фазы:

. (10.9)

Согласно (10.3А), ; следовательно, скорость распространения синусоидальной волны совпадает со скоростью перемещения фазы колебаний. Именно поэтому скорость, определяемая равенством (10.9), получила название фазовой скорости волны.

Опыт показывает, что любой колебательный процесс, протекающий в природе, ограничен во времени. В соответствии с этим в природе не существует идеальных синусоидальных волн, т. е. волн бесконечной протяженности со строго определенной частотой; любая реальная волна представляет собой т. н. волновой цуг, т. е. «отрезок» волны. Если механические свойства среды не изменяются в процессе распространения упругой волны, то при распространении нескольких волн выполняется принцип суперпозиции: результирующее возмущение в некоторой точке среды равно сумме возмущений, вызванных в этой же точке каждой волной в отдельности. Если, например, смещение определенной точки среды, обусловленное -ой волной, равно , то результирующее смещение этой же точки, вызванное волнами, представляет собой сумму:

.

Принцип суперпозиции не выполняется лишь в том случае, если амплитуда волн больше некоторого значения, характерного для каждой среды (в этом случае имеет место нарушение закона Гука).

В математике доказывается, что любой волновой цуг можно представить в виде суперпозиции синусоидальных волн, частоты и волновые числа которых имеют значения в определенных промежутках протяженностью и . Такой набор синусоидальных волн называется волновым пакетом, или группой волн. В пределах пакета синусоидальные волны взаимно усиливаются, за его пределами – гасят друг друга вследствие интерференции. Зависимость амплитуды колебаний частиц среды от координаты в пределах пакета определяет его форму. Если волновой пакет распространяется вдоль какого-то направления (например – вдоль оси ), то его пространственная протяженность связана с протяженностью промежутка выражением . Из этого соотношения видно, что чем меньше , тем шире промежуток и, соответственно, промежуток .

При распространении волнового пакета весьма существенное влияние на его форму имеет дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости синусоидальных волн, образующих пакет, от их частоты. В отсутствие дисперсии все синусоидальные волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой скоростью . С такой же скоростью перемещается и пакет, при этом его форма с течением времени не изменяется. На рис. 10.2,а изображена форма волнового пакета, т. е. зависимость амплитуды колебаний от координаты частиц среды в начальный момент времени. При наличии дисперсии пакет деформируется (расплывается), и его пространственная протяженность увеличивается (рис. 10.2,б). Если дисперсия невелика, деформация пакета происходит достаточно медленно; в этом случае пакету можно приписать скорость перемещения точки с максимальной амплитудой, которая называется групповой скоростью. Если волновой пакет образован

Рис. 10.2

суперпозицией волн с непрерывно изменяющейся частотой, то групповая скорость представляет собой производную:

. (10.10)

Необходимо подчеркнуть, что мы нашли групповую скорость как скорость перемещения точки волнового пакета с максимальной амплитудой. Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату ее амплитуды, величина характеризует также скорость переноса волной энергии.

Далее найдем соотношение между групповой и фазовой скоростью. Согласно (10.3А) и (10.10) имеем:

; . (10.11)

Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого в правой части последнего равенства на и выполним элементарные тождественные преобразования:

.

Согласно (10.2А) ; поэтому

. (10.12)

Сделав в выражении (10.11) замену (10.12), получим:

, .

Легко видеть, что в случае отсутствия дисперсии () , т. е. групповая скорость совпадает с фазовой.

9.3. Энергия упругих волн

Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает кинетической энергией колебательного движения частиц и потенциальной энергией, обусловленной упругой деформацией среды. Для того чтобы найти потенциальную энергию среды, вычислим вначале энергию упруго деформированного стержня, расположенного вдоль оси , как работу, которую необходимо совершить для увеличения его длины на (рис. 10.4). Если растяжение стержня производить достаточно медленно, внешняя (деформирующая) сила по модулю будет равна силе упругости. Тогда в соответствии с законом Гука зависимость модуля внешней силы от координаты торца стержня, который перемещается при удлинении,

Рис. 10.4

определяется равенством , а работа этой силы равна определенному интегралу: