Тема 9. Волны в упругих средах (стр. 3 )

. (10.18)

Используя равенство (10.13А), выразим силу через модуль Юнга:

, , . (10.19)

Сделаем в в подынтегральном выражении (10.18) замену (10.19), вычислим интеграл и выполним элементарные тождественные преобразования:

.

Поскольку , . Произведение в скобках равно начальному объему стержня: . Поэтому

. (10.20)

При возвращении в недеформированное состояние стержень может совершить такую же работу над внешними телами; следовательно, равенство (10.20) определяет потенциальную энергию упруго деформированного стержня. Разделив это выражение на объем, получим объемную плотность потенциальной энергии:

.

Выберем на стержне участок с координатами сечений и . Пусть этот участок длиной имеет деформацию . Понятно, что деформации в различных сечениях отличаются, но отношение - это усредненное значение относительной деформации рассматриваемого участка. Для того чтобы найти относительную деформацию в сечении с координатой , необходимо перейти к пределу:

(10.13)

(здесь мы используем символ частной производной, поскольку численное значение относительной деформации в любом сечении стержня зависит как от координаты, так и от времени).

Пусть в рассматриваемом стержне распространяется плоская продольная волна

. (10.20А)

Выделим в стержне объем , малый настолько, что скорость движения всех его частиц и относительную деформацию в каждом его сечении можно считать одинаковой. Поскольку скорость колебательного движения частиц среды равна производной , выделенный объем массой обладает кинетической энергией

.

Кроме того, этот объем обладает и потенциальной энергией

. (10.21)

Используя формулу (10.17А), выразим модуль Юнга через скорость волны и подставим в (10.21):

, .

Полную энергию выделенного объема стержня найдем как сумму его кинетической и потенциальной энергии:

.

Разделив это равенство на , получим выражение для объемной плотности энергии стержня:

. (10.22)

Из уравнения волны (10.20А) найдем производные , и подставим в (10.22):

, ,

.

Поскольку ,

. (10.23)

Таким образом, объемная плотность энергии среды, в которой распространяется волна, пропорциональна плотности среды, квадрату частоты и амплитуды колебаний в определенный момент времени. Заменив в (10.23) квадрат синуса его средним за период значением, равным ½, найдем среднюю по времени объемную плотность энергии:

. (10.23А)

9.4. Вектор Умова

Выберем в упругой среде поверхность, площадь которой мала настолько, что ее можно считать частью плоскости, в каждой точке которой направление распространения, амплитуда колебаний и скорость волны одинаковы. Пусть через такую поверхность площадью (далее мы будем называть ее элементарной поверхностью) за промежуток времени волной переносится энергия . Количество энергии, переносимой через элементарную поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность:

.

Из определения следует, что единицей измерения потока энергии в СИ является 1 Дж/с =1 Вт. Поскольку в различных точках среды направление распространения волны и ее скорость, вообще говоря, могут различаться, в качестве характеристики энергии, переносимой волной, используется вектор плотности потока энергии:

. (10.24)

Здесь - площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную лучу волны, - единичный вектор вдоль направления луча. Легко видеть, что модуль вектора равен потоку энергии через поверхность единичной площади, перпендикулярной направлению распространения волны; единицей измерения служит 1 Вт/м2.

Энергию, переносимую волной через элементарную поверхность площадью за промежуток времени , можно представить следующим образом:

(здесь - объемная плотность энергии среды, - скорость волны). Подставим это выражение в формулу (10.24):

. (10.25)

Вектор плотности потока энергии, переносимой упругой волной, называется вектором Умова. Заменив в (10.25) объемную плотность энергии ее средним за период значением (10.23А), получим усредненный по времени вектор плотности потока энергии:

. (10.25А)

Модуль этого вектора называется интенсивностью волны:

. (10.25Б)