Тема 9. Волны в упругих средах (стр. 5 )

Рис. 10.7

спустя четверть периода, т. е. в момент , отклонение частиц от положения равновесия и относительная деформация равны нулю, скорость частиц - максимальна. Следовательно, в этот момент времени энергия среды локализована преимущественно в тех точках, где наибольшее значение имеет скорость колебательного движения. На графике скорости (см. рис. 10.7,б) видно, что эти точки, отмеченные светлыми кружками, отстоят на четверть длины волны от точек, где в момент наибольшее значение имела деформация среды. Можно показать также, что спустя еще четверть периода скорость частиц вновь станет равной нулю, относительная деформация максимальна, а энергия среды будет сосредоточена в точках, обозначенных черными кружками.

Таким образом, через каждые четверть периода энергия упругой среды меняет место локализации – она смещается на четверть длины волны в противоположных направлениях. Поэтому суммарный поток энергии через любую плоскость, перпендикулярную лучу волны, за промежуток времени, не меньший полупериода колебаний, равен нулю. Именно поэтому волновой процесс, возникающий в упругой среде в результате суперпозиции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой, называется стоячей волной.

9.6. Звуковые волны

Звуковыми волнами (звуком) называются упругие волны, воспринимаемые человеческим ухом; их частота находится в промежутке 16…20000 Гц. Если частота меньше 16 Гц, волны называются инфразвуком, если же частота больше 20000 Гц - волна называется ультразвуковой.

Человеческое ухо различает звуки по высоте, тембру и громкости. Любая реально существующая в природе звуковая волна представляет собой суперпозицию множества волн различных частот; совокупность всех частот называется акустическим спектром волны. Если в звуковой волне присутствуют все колебания со всеми частотами из некоторого промежутка, такой спектр называется сплошным. Если же в волне имеются колебания лишь строго определенных частот, такой спектр называется дискретным (линейчатым). Различного рода шумы обладают, как правило, сплошным акустическим спектром. Звуковые волны с дискретным спектром характеризуются высотой (тоном); такие звуки называются тональными. Высота звука определяется наименьшей частотой колебаний, тембр – амплитудой колебаний различных частот.

Уровнем громкости звука называется десятичный логарифм отношения интенсивности звуковой волны к интенсивности, принятой за единицу (порог слышимости):

. (10.36)

Порог слышимости составляет 1∙10-12 Вт/м2 на частоте 1000 Гц. Из определения (10.36) следует, что уровень громкости, соответствующий порогу слышимости, равен нулю. Если же , то , т. е. интенсивность звуковой волны в 10 раз превышает порог слышимости. Единицей измерения уровня громкости является 1 Белл – интенсивность звуковой волны, в 10 раз превышающей порог слышимости. На практике чаще используется 1 децибелл (1дБ), составляющий 0,1 Белл.

В децибеллах можно выразить уменьшение интенсивности (затухание) звуковой волны. Пусть, например, на некотором отрезке распространения ее интенсивность уменьшилась от до , причем затухание составляет 10 дБ. Поскольку 10 дБ составляет 1 Белл, в соответствии с (10.36) имеем:

,

т. е. интенсивность волны уменьшилась в 10 раз.

Как уже отмечалось, скорость распространения продольных звуковых волн в стержне определяется модулем упругости и плотностью материала, из которого стержень изготовлен:

. (10.37)

Если вместо использовать аналогичную величину для газовой среды, с помощью этой же формулы можно вычислять скорость звука в газе. Для того чтобы найти «газовый аналог» модуля упругости, сравним деформацию упругого стержня с деформацией столба газа в горизонтально расположенной трубке, закрытой подвижным поршнем. Под влиянием внешней силы , действующей на поршень площадью , столб газа получает объемную деформацию ; при этом в газе создается избыточное (над атмосферным) давление . Понятно, что эту величину можно использовать в качестве аналога нормального механического напряжения, отношение - в качестве относительной деформации газа. Обозначив , в соответствии с (10.13А) имеем:

. (10.38)

Знак «минус» в этом равенстве пишется потому, что величина , как и модуль упругости, по определению положительна, отношение при сжатии газа – отрицательно. Подставив (10.38) в (10.37), получим:

. (10.39)

Для вычисления производной необходимо знать зависимость . Если газ считать идеальным, процесс распространения звуковой волны – изотермическим, из уравнения Клапейрона-Менделеева для одного моля газа следует:

. (10.40)

Сделаем в (10.39) замену (10.40):

.

Подставив в эту формулу численные значения атмосферного давления и плотности воздуха при нормальных условиях, получим, что м/с. Как известно, экспериментально измеренное значение скорости звука в воздухе при нормальных условиях составляет 340 м/с. Разница обусловлена тем, что на частоте звуковых колебаний объемная деформация газа при распространении волны происходит в условиях адиабатического (не изотермического) процесса. Позже мы убедимся в том, что если для вычисления производной использовать уравнение адиабаты, расчет дает значение скорости звука, хорошо согласующееся с результатами измерений.

9.7. Эффект Доплера

Эффект заключается в том, что при перемещении источника звука относительно приемника (либо приемника относительно источника) частота звуковой волны, попадающей в приемник, отличается от частоты волны, излучаемой ее источником.

Пусть частота колебаний источника волны равна , количество колебаний, воспринимаемых ее приемником за 1 с – . Будем полагать для упрощения рассуждений, что движение источника и приемника колебаний относительно упругой среды происходит вдоль соединяющей их прямой. Условимся считать скорость источника относительно среды положительной, если он приближается к приемнику (в противном случае она отрицательна). Аналогично этому скорость приемника считается положительной, если он приближается к источнику, и отрицательной, если приемник удаляется от источника. Скорость распространения волны в среде обозначим .

Пусть источник колебаний и приемник неподвижны, т. е. , . В этом случае приемник за единицу времени воспримет столь колебаний, сколько длин волн пройдет мимо него за 1 с. Поскольку за единицу времени волна проходит расстояние, равное , то . Так как ,

,

т. е. частота волны, регистрируемой приемником, совпадает с частотой колебаний источника.

Предположим теперь, что приемник приближается к источнику. При этом мимо него в единицу времени пройдет большее количество длин волн, чем в случае, когда он неподвижен. Действительно, движение приемника навстречу волне со скоростью эквивалентно ситуации, в которой волна мимо неподвижного приемника перемещается со скоростью . Следовательно, в этом случае

, (10.41)

т. е. частота волны, регистрируемая приемником, больше частоты колебаний источника. Если же приемник удаляется от источника (,

.

Теперь пусть источник приближается к приемнику (. Поскольку скорость распространения волны зависит лишь от свойств среды, при неподвижном источнике она переместилась бы за один период по направлению к приемнику на расстояние (рис. 10.8, штриховая линия). Так как источник за это же время приблизится к приемнику на расстояние , фактическая длина волны, попадающей в приемник, будет меньше, чем в случае неподвижного источника:

. (10.42)

Следовательно, частота волны, регистрируемая приемником, будет больше частоты колебаний источника:

Рис. 10.8

.

Понятно, что если источник удаляется от приемника,

,

т. е. частота регистрируемой волны окажется меньше частоты колебаний источника.

Наконец, рассмотрим более общий случай, когда источник и приемник перемещаются навстречу друг другу одновременно. При этом вследствие движения источника длина регистрируемой волны уменьшится, а вследствие движения приемника количество колебаний, попадающих в него, увеличится (см. формулы (10.41) и (10.42)). Поэтому частота регистрируемой волны будет больше частоты источника:

.

Если же векторы скоростей и направлены под углом к прямой, соединяющей источник и приемник, для вычисления частоты следует использовать их проекции на эту прямую.

Изменение частоты волны, обусловленное движением ее источника либо приемника, легко заметить при восприятии звука даже на слух. Как уже отмечалось, частота колебаний определяет тон звука – чем больше частота, тем выше тон. Когда сигналящий автомобиль с большой скоростью приближается к наблюдателю, отчетливо слышно изменение тона сигнала в тот момент, когда автомобиль, поравнявшись с наблюдателем, начинает от него удаляться.