Тема 9. Волны в упругих средах (стр. 4 )

Для того чтобы найти поток энергии, переносимой волной, через произвольную поверхность площадью , ее следует разделить на элементарные поверхности. За промежуток времени через одну из них площадью пройдет энергия

. (10.26)

Здесь - модуль вектора Умова в точке среды, где находится рассматриваемая поверхность, - угол между нормалью к ней и вектором (рис. 10.5). Если площадь элементарной поверхности считать вектором , то равенство (10.26) можно представить в виде скалярного произведения: . Разделив это равенство на , получим поток энергии через элементарную поверхность: . Поток энергии

Рис. 10.5

через всю поверхность площадью , который равен сумме потоков через все элементарные поверхности, выражается интегралом:

.

Опыт показывает, что в процессе распространении упругих волн энергия колебаний частиц среды частично превращается в ее внутреннюю энергию (тепло). Это явление, обусловленное различными неконсервативными силами, называется поглощением волны. В частности, поглощение волны в жидкостях и газах обусловлено силами внутреннего трения. В результате поглощения амплитуда волны уменьшается по мере ее распространения. В частности, в однородной среде амплитуда плоской волны, распространяющейся вдоль оси , уменьшается по закону

. (10.28)

Здесь - амплитуда волны при , - коэффициент линейного поглощения среды, зависящий от ее свойств и частоты волны. Полагая в (10.28) , найдем расстояние, на котором амплитуда уменьшится в раз:

.

Следовательно, коэффициент линейного поглощения среды можно найти как величину, обратную расстоянию, на котором амплитуда волны уменьшается в раз.

9.5. Стоячие волны

Как уже отмечалось, если разность фаз колебаний любой точки среды, вызванных несколькими волнами, не изменяется во времени, такие волны называются когерентными. В результате суперпозиции двух или большего количества когерентных волн в определенной области среды может наблюдаться явление интерференции. Оно состоит в том, что этой области возникает устойчивая картина увеличения амплитуды колебаний в одних точках и уменьшения ее в других точках. Важное в практическом отношении явление интерференции имеет место в случае суперпозиции двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий при этом колебательный процесс называется стоячей волной.

Пусть вдоль оси распространяются в противоположных направлениях две плоские когерентные волны c одинаковыми амплитудами и нулевыми начальными фазами:

, .

В результате их суперпозиции возникает колебательный процесс, уравнение которого

.

Выполнив ряд тождественных преобразований, получим:

. (10.29)

Сделаем здесь замену :

. (10.30)

Поскольку выражение в скобках не зависит от переменной , его модуль можно рассматривать как амплитуду колебательного процесса. Из уравнения (10.30) следует, что в каждой точке среды, вовлеченной в колебательное движение, частота колебаний равна частоте волны, амплитуда же колебаний зависит от координаты точки. В тех точках среды, координаты которых удовлетворяют условию

, ,

амплитуда колебаний максимальна; эти точки называются пучностями волны. Если же координаты точек удовлетворяют условию

,

амплитуда колебаний в них равна нулю (узлы волны). Легко показать, что расстояние между соседними узлами, как и между пучностями, равно .

Из уравнения (10.30) следует, что в начальный момент времени () , поэтому отклонения частиц среды от положения равновесия имеют максимальные значения. Уравнение волны в этот момент времени

, (10.31)

график функции (10.31) изображен на рис. 10.6 сплошной линией. Спустя

Рис. 10.6

четверть периода , поэтому отклонение всех частиц среды от положения равновесия равно нулю. Понятно, что график соответствующего уравнения волны на рис. 10.6 совпадает с осью абсцисс. Спустя еще четверть периода , т. е. отклонения частиц от положения равновесия максимальны, однако противоположны по направлению отклонениям частиц при . Уравнение волны в этот момент времени

, (10.32)

график функции (10.32) изображен на рис. 10.6 пунктирной линией.

Теперь сформулируем отличия колебаний частиц среды в случае распространения одной плоской волны и двух плоских волн противоположного направления. Если в среде распространяется одна волна, любая частица совершает колебания с амплитудой, равной амплитуде волны (). При наличии двух встречных волн амплитуда колебаний различных частиц зависит от их координаты: существуют точки с нулевой амплитудой (узлы), а также точки с максимальной амплитудой, равной (пучности волны). Иначе говоря, амплитуда колебаний промодулирована по координате частиц среды.

Производная уравнения (10.30) по переменной дает скорость колебательного движения частиц среды с различными координатами:

. (10.33)

Продифференцировав функцию (10.30) по переменной , найдем относительную деформацию среды в момент времени :

. (10.34)

В начальный момент времени () , . Согласно (10.31), (10.33) и (10.34), скорость всех частиц равна нулю, их отклонение от равновесного положения и относительная деформация среды максимальна:

, . (10.35)

Следовательно, в этот момент времени энергия среды сосредоточена главным образом в окрестности тех ее точек, где относительная деформация имеет наибольшее значение. На графиках функций (10.35), приведенных на рис. 10.7,а, эти точки отмечены черными кружками. Можно показать, что