Тема 9. Волны в упругих средах (стр. 1 )

ТЕМА 9. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

9.1. Уравнение плоской бегущей волны

Упругой волной называется явление (процесс) распространения механических колебаний в упругих средах. Среда называется упругой, если ее деформация, вызванная внешней силой, полностью исчезает после прекращения действия этой силы. Согласно закону Гука, упругая деформация пропорциональна величине внешней силы, т. е. зависит от нее по линейному закону. Упругость среды обусловлена межмолекулярными силами притяжения и отталкивания; тем не менее, рассматривая волновой процесс, мы будем считать среду сплошной (непрерывной), отвлекаясь от ее молекулярного строения.

Источником волны называется тело, совершающее колебания в упругой среде. В процессе колебаний это тело воздействует на прилегающие к нему слои среды; в результате этого они вовлекаются в вынужденные колебания и деформируют прилегающие к ним соседние слои. Таким образом в упругой среде распространяются механические колебания, т. е. волна.

При распространении волны частицы среды лишь вовлекаются в вынужденные колебания, не перемещаясь вместе с волной. Поскольку в процессе распространения волны в колебательный процесс вовлекаются все новые и новые области среды, распространение волны сопровождается переносом энергии. Именно поэтому такие волны называются бегущими (позже речь пойдет о стоячих волнах, которые не переносят энергию).

Лучом волны называется линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распространения волны, т. е. с направлением переноса энергии. В однородной среде луч волны представляет собой прямую линию. Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления ее распространения. Продольные волны обусловлены объемной деформацией, поэтому они могут распространяться в твердых, жидких и газообразных средах. Упругая волна называется поперечной, если колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению ее распространения. Поперечные волны обусловлены деформацией сдвига, поэтому распространяются они только в твердых телах. Волна называется синусоидальной (гармонической), если колебания источника волны происходят по гармоническому закону, т. е. со строго определенной частотой. Поперечные синусоидальные волны характеризуются поляризацией, т. е. направлением колебаний частиц среды. Если частицы колеблются вдоль отрезка прямой, поперечная волна называется линейно поляризованной. Если же траектория движения частиц представляет собой эллипс или окружность, волна называется эллиптически поляризованной или циркулярно поляризованной.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек среды с одинаковой фазой колебаний. Волна называется плоской, если поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости. Если же поверхности равных фаз представляют собой концентрические сферы, волна называется сферической.

Волновым фронтом в определенный момент времени называется геометрическое место точек среды, до которых распространилась волна к этому моменту. Иначе говоря, волновой фронт – это поверхность, которая отделяет часть пространства, вовлеченную в колебательный процесс, от части пространства, которая в этот процесс еще не вовлечена. Понятно, что волновой фронт всегда один, волновых поверхностей – множество.

Уравнением бегущей волны называется функция, выражающая зависимость от координат и времени смещения частиц среды из положения равновесия, обусловленного распространением волны. Пусть источник волны находится на оси в точке с координатой и совершает колебания по закону . В результате этого в упругой среде возникает волна, которая распространяется вдоль оси со скоростью . Вследствие конечности скорости, колебания частиц среды в точках с абсциссой возникнут спустя промежуток времени после их начала в точке , и будут происходить по закону . По такому же закону будут колебаться все частицы среды, находящиеся в плоскости, перпендикулярной оси в точке с координатой . Поэтому равенство

(10.1)

можно рассматривать как уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси абсцисс. Зафиксируем в этом уравнении значение координаты, положив . В результате получим

,

т. е. закон колебаний всех частиц среды с абсциссой . Если же зафиксировать в (10.1) время, полагая , придем к уравнению

. (10.2)

Это равенство определяет отклонение от положения равновесия частиц среды с различными координатами в момент времени , обусловленное распространением волны. Можно сказать, что уравнение (10.2) представляет собой «мгновенную фотографию волны» в рассматриваемый момент времени.

Расстояние, проходимое волной за время, равное одному периоду колебаний, называется длиной волны. Из определения следует, что (здесь - длина волны, - период колебаний). Наряду с длиной волны, в качестве ее характеристики используется волновое число и волновой вектор

, (10.2А)

где - единичный вектор, отложенный вдоль луча волны. Из определения следует, что в системе СИ волновое число представляет собой количество длин волн, укладывающихся на отрезке прямой длиной метров (на практике под волновым числом понимается количество длин волн на отрезке в 1 см).

Преобразуем уравнение (10.1) следующим образом:

. (10.3)

Нетрудно показать, что :

.

Заменив в (10.3) отношение волновым числом, получим:

. (10.4)

Далее составим уравнение плоской волны, распространяющейся из начала трехмерной системы координат в направлении волнового вектора . На рис. 10.1 видно, что в точку среды с радиус-вектором волна придет

Рис. 10.1

после начала колебаний источника через промежуток времени .

Так как величину можно рассматривать как скалярное произведение , искомое уравнение можно записать следующим образом:

. (10.5)

Поскольку , по свойству скалярного произведения векторов

. Следовательно, уравнение (10.5) примет вид:

. (10.6)

Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которому удовлетворяет уравнение волны:

. (10.7)