Программа дисциплины (syllabus) (стр. 4 )

Таким образом, пока прибыль превышает суммарную оценку ресурсов, уровень использования данного вида производственной деятельности следует увеличивать. Следует заметить, что мы увеличиваем уровень его использования до того значения, при котором -коэффициент при данной переменной станет равным нулю. Это эквивалентно полной реализации всех возможностей, связанных с получением прибыли от данного вида производственной деятельности.

Тема 2 Элементы выпуклого анализа.

План

1) Основы теории математического программирования,

2) принцип Лагранжа,

3) двойственность в выпуклом программировании.

Краткое изложение материала

Определение 1. Множество  называется отрезком прямой, соединяющим точки a и b и обозначается . 

Определение 2. Множество  называется выпуклым, если отрезок  для любых  . 

Теорема 1. Пусть  ,  - выпуклые множества. Тогда множество  - выпукло.

Теорема 2.  Пусть  ,  - выпуклые множества,  ,  . Тогда множество  - выпукло. 

Теорема 1.  Пусть  открытое множество,  выпуклое множество, функция f определена и дифференцируема на множестве G. Тогда для того, чтобы f, была выпуклой на множестве D функцией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 

,  .

Теорема 2. Пусть  открытое множество,  выпуклое множество, функция f определена и дифференцируема на множестве G. Тогда для того, чтобы f, была выпуклой на множестве D функцией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 

,  .

Определение 1 Задачей выпуклого программирования называется задача нелинейного программирования, у которой все функции  являются выпуклыми функциями. Таким образом, задача выпуклого программирования является задачей минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве, образованном системой выпуклых неравенств. Поэтому все результаты, полученные нами в третьем параграфе настоящей главы, справедливы для задачи выпуклого программирования. Целью данного параграфа является конкретизировать эти общие результаты, сделать их более удобными для исследования и решения задачи выпуклого программирования. 

Теорема 1. (Теорема Куна-Таккера в форме о седловой точке функции Лагранжа задачи выпуклого программирования).

Пусть дана задача выпуклого программирования вида , пусть система неравенств удовлетворяет условию Слейтера. Тогда для того чтобы неотрицательный вектор был решением задачи выпуклого программирования необходимо и достаточно, чтобы существовал неотрицательный вектор  множителей Лагранжа, такой, что вектор  - седловая точка функции Лагранжа.

  Функция , заданная на выпуклом множестве Х, называется выпуклой,  если  для любых двух точек  из Х и любого  выполняется соотношение

. 

Функция , заданная на выпуклом множестве Х, называется вогнутой,  если  для любых  двух  точек  из Х и любо-

го  выполняется соотношение

.

Если  неравенства  (15.4)  и  (15.5)  считать  строгими  и  они  выполняются при , то функция  является строго выпуклой(строго вогнутой). Выпуклость и вогнутость функций определяется только относительно выпуклых множеств.

 

Рисунок 1

 Если , – выпуклые (вогнутые) функции на некотором выпуклом множестве , то функция  ‑ также выпуклая (вогнутая) на Х.

Основные свойства выпуклых и вогнутых функций:

1. Множество точек минимума выпуклой функции, заданной на выпуклом множестве, ‑ выпукло.

2. Пусть  ‑ выпуклая функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве . Тогда локальный минимум  на Х является и глобальным.

3. Если глобальный минимум достигается в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соединяющего данные точки.

4. Если  ‑ строго выпуклая функция, то ее глобальный минимум на выпуклом множестве Х достигается в единственной точке.

5. Пусть функция  ‑ выпуклая функция, заданная на выпуклом множестве Х, и, кроме того, она непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка во всех внутренних точках Х. Пусть  – точка, в которой . Тогда в точке  достигается локальный минимум, совпадающий с глобальным минимумом.

6. Множество точек глобальных (следовательно, и локальных) минимумов выпуклой функции , заданной на ограниченном замкнутом выпуклом множестве Х, включает хотя бы одну крайнюю точку; если множество локальных минимумов включает в себя хотя бы одну внутреннюю точку множества Х, то  является функцией-константой.