Программа дисциплины (syllabus) (стр. 6 )

Такое рассечение интервала новой точкой может быть точно рассчитано. Забегая вперед, запишу эту пропорцию:

Точки х1 и х2 расположены симметрично относительно середины интервала (a, b).

Такое рассечение интервала и получило название золотого сечения. Сначала метод золотого сечения проиллюстрируем рисунками. Введем обозначения:  1=b-a - исходный интервал. 2 - интервал, полученный после уменьшения интервала 1 отбрасыванием его левого или правого подинтервала. k+1 - интервал, полученный после уменьшения интервала k. Отбрасываемый интервал на рисунке будет заштрихован.

Пояснения

На шаге 1 интервал [a, b] делится точками х1 и х2 в пропорциях золотого сечения. Отрезок [a, x1) исключается. На втором шаге точка х1| = х2 (т. е. переходит с первого шага) и вводится новая точка x2| (x2|делит интервал [a|,b|]) в пропорции золотого сечения, причем x2| - a| = x1 - a = 3 и т. д.). Рассмотрим теперь метод золотого сечения формально. Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение всего отрезка к большей части равнялось отношению большей части к меньшей. Золотое сечение отрезка [a, b] производится двумя симметрично расположенными точками (х1и х2). Т. е. (b-a)/(b-x1)=(b-x1)/(x1-a)= и (b-a)/(x2-a)=(x2-a)/(b-x2)=. Можно показать, что:

Примечательно то, что точка х1 в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a, x2], т. е. (x2-a)/(x1-a) = (x1-a)/(x2-x1) = . Аналогично, точка х2 производит золотое сечение отрезка [x1,b]. Итак, метод золотого сечения состоит в том, что длины последовательных интервалов берутся в фиксированном отношении:

Тема 5 Вариационное исчисление

План

1)уравнение Эйлера,

2)изопараметрическая задача.

Краткое изложение материала

Вариационное исчисление - это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические и минимальные поверхности. В физике вариационный метод - одно из мощнейших орудий получения уравнений движения как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике. Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются следующие:

·  вариация (первая вариация),

·  вариационная производная (первая вариационная производная),

кроме первой вариации и первой вариационной производной, рассматриваются и вариации и вариационные производные второго и высших порядков. Никак не связана с вариационным вычислением совпадающая по названию вариация функции в анализе. Термин варьирование (варьировать) - применяется в вариационном исчислении для обозначения нахождения вариации или вариационной производной (это аналог термина дифференцирование для случая бесконечномерного аргумента, являющегося предметом вариационного исчисления). Также нередко для краткости (особенно в приложениях) термин варьирование применяется для обозначения решения вариационной задачи, сводимой к нахождению вариационной производной и приравнивания её нулю. Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления - уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления. Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике; в физике - задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля.

Решающий вклад в развитие вариационного исчисления внесли Леонард Эйлер и Жозеф Лагранж, первому из которых принадлежит первое систематическое изложение вариационного исчисления и сам термин, второй же получил независимо многие основополагающие результаты и ввёл понятие вариации. Содержанием вариационного исчисления является обобщение понятия дифференциала и производной функции конечномерного векторного аргумента на случай функционала - функции, областью определения которой служит некое множество или пространство функций, а значения лежат в множестве вещественных чисел (иногда комплексных, что мало меняет что-то по существу).

Всюду ниже в этом параграфе подразумевается, что функции и функционалы обладают необходимой гладкостью, то есть вопрос существования тех или иных производных специально не рассматривается, тем более что во многих конкретных задачах этот вопрос не имеет практического значения (нужная гладкость заведомо есть). Функционал Φ[f] ставит в соответствие каждой конкретной функции f из его области определения - определённое число.

Изопериметрическая задача - класс задач вариационного исчисления, обобщающих следующее неравенство между площадью плоской фигуры и её периметром:

Задача Дидоны - исторически первая задача вариационного исчисления. Связана с древней легендой об основании города Карфагена. Дидона - сестра царя финикийского города Тира, переселилась на южное побережье Средиземного моря, где попросила у местного племени участок земли, который можно охватить шкурой быка. Местные жители предоставили шкуру, которую Дидона разрезала на узкие ремни и связала их. Получившимся канатом охватила территорию у побережья. Возникает вопрос о том, как можно захватить максимальную площадь.

Задача сводится к нахождению экстремума функционала

с граничными условиями , и при фиксированном параметре (длине)

и  просто точки закрепления каната. Решением является дуга окружности, если концы нельзя двигать по побережью, и полуокружность в противном случае.

Тема 6 Метод динамического программирования Беллмана.

План

1) Постановка задачи

Краткое изложение материала

Общая постановка  задачи динамического программирования

Рассматривается управляемая система, которая под влиянием управления переходит из начального состояния  в конечное состояние . Предположим, что процесс управления системой можно разбить на n шагов. Пусть  – состояния системы после 1-го,  2-го,  …, n-го шагов (рис. 1). Состояние  системы  после k-го  шага  характеризуется параметрами , которые называются фазовыми координатами. Состояние  можно изобразить точкой s-мерного пространства, называемого фазовым. Последовательное преобразование системы (по шагам) достигается с помощью некоторых мероприятий ,  которые  составляют управление системой ,  где  – управление  на k-м  шаге, переводящее  систему  из  состояния  в состояние . Управление  на k-м шаге заключается в выборе значений определенных управляющих переменных .  Предполагаем,  что  состояние  системы  в  конце k-го шага зависит только от предшествующего состояния системы  и управления  на данном шаге. Такое свойство получило название отсутствие последействия. Запишем  эту зависимость в виде