Билеты по геометрии 7 класс

Билеты по геометрии 7 класс

Б-1

1.  Вертикальные и смежные углы (определение, свойства с доказательством).

2.  Построить равнобедренный треугольник ABC по основанию AC = 4cм и боковой стороне АВ = 3см.

3.  Задача на признаки параллельности прямых.

·  Прямая EK является секущей для прямых CD и MN (E Є CD, K Є MN). Угол DEK равен 650. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельны?

·  Треугольники ABC и BAD равны. Точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Б-2

1.  Определение равных фигур. 1-й признак равенства треугольников (доказать).

2.  Построить точку пересечения биссектрис в треугольнике.

3.  Задача на соотношения между сторонами и углами треугольника.

Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие его стороны равны: а) 8см и 2см, б) 5см и 3см. Внутри треугольника АВС взята точка D. Известно, что BCD + BAD > DAC. Докажите, что AC > DC.

Б-3

1.  Определение равных треугольников. 2-й признак равенства треугольников (доказать).

2.  Построить прямоугольный треугольник АВС по катету АС =4см и гипотенузе АВ = 6см.

3.  Задача на соотношение между сторонами и углами треугольника.

·  Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть А тупым, если:

а) АВ > ВС > АС, б) АВ = АС < ВС.

·  Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Б-4

1.  Определение равных фигур. 3-й признак равенства треугольников (доказать).

2.  Построить равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) по боковой стороне АВ = 3см и углу АВС = 500.

3.  Задача на сумму углов треугольника.

Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите CBD, зная, что A = 200. В треугольнике АВС C = 150. На стороне АС отмечена точка D так, что ABD = 120, ADB = 800. Докажите, что треугольник АВС не является прямоугольным.

Б-5

1.  Равнобедренный треугольник (определение). Свойства углов при основании равнобедренного треугольника (доказать).

2.  Построить точку пересечения медиан в треугольнике.

3.  Задача на внешний угол треугольника.

У треугольника один из внутренних углов равен 300, а один из внешних – 400. Найдите остальные внутренние углы треугольника. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Б-6

1.  Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. 1-й признак параллельности прямых (доказать).

2.  Построить биссектрису данного угла.

3.  Задача на смежные углы.

Найти смежные углы, если их разность равна 400. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

Б-7

1.  Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. 2-й признак параллельности прямых (доказать).

2.  Построить треугольник АВС по сторонам АВ = 5см, АС = 4см, ВС = 3см.

3.  Задача на свойства прямоугольного треугольника.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите углы треугольника АВС. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Б-8

1.  Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. 3-й признак параллельности прямых (доказать).

2.  Построить треугольник АВС по сторонам АС = 3см, ВС = 5см и C = 500.

3.  Задача на равенство прямоугольных треугольников.

Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны. На сторонах О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС – биссектриса О

Б-9

1.  Аксиома параллельных прямых. Следствия из аксиомы параллельных прямых (доказать).

2.  Построить треугольник АВС по стороне АВ = 4см и углам: А = 400, В = 600.

3.  Задача на свойства равнобедренного треугольника.

В треугольнике АВС А = С, а высота AD делит сторону ВС пополам. Найдите АС, если BD = 7,8см. Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Б-10

1.  Теорема о накрест лежащих углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей (доказать).

2.  Построить прямоугольный треугольник АВС по катету АС = 5см и А = 500.

3.  Задача на сумму углов в треугольнике.

В треугольнике АВС, в котором А = 600, В = 800, проведена биссектриса AD. Найдите углы треугольника ACD. Равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ разбит отрезком AD на два других равнобедренных треугольника ACD и ABD. Найдите углы треугольника АВС.

Б-11

1.  Треугольник (определение). Сумма углов треугольника (доказать).

2.  Через данную точку О, не лежащую на данной прямой а, построить прямую с, перпендикулярную к прямой а.

3.  Задача на свойства параллельных прямых и секущей.

Один из внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми a и b и секущей c, равен 530. На сколько градусов этот угол меньше другого внутреннего одностороннего с ним угла? Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Б-12

1.  Внешний угол треугольника (определение). Свойство внешнего угла треугольника (доказать).

2.  Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

3.  Задача на свойство вертикальных углов.

·  Точка O является серединой отрезков AB и CD. Докажите, что OCB = ODA.

·  У треугольников АВС и DMC AB = MD, ABAC и MDCD. Докажите равенство треугольников ABC и DMC.

Б-13

1.  Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (доказать).

2.  Построить прямоугольный треугольник АВС по двум катетам: АС = 5см и ВС = 4см.

3.  Задача на признаки равенства треугольников.

·  В треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, А = А1, точки D и D1 лежат соответственно на сторонах АС и А1С1, DBC = D1B1C1. Докажите, что BDC = B1 D1C1.

·  На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки D и E соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры DK и EP к прямой АС, DK = EP, ADK = PEC. Докажите, что АВ = ВС.

Б-14

1.  Неравенство треугольника (доказать).

2.  Отложить от данной полупрямой а в данную полуплоскость угол, равный данному углу АВС = 600.

3.  Задача на свойства параллельных прямых и секущей

·  Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, относятся как 2 : 3. Чему равны эти углы?

·  Внутри треугольника ABC отмечена точка F. Через неё проведены прямые, параллельные сторонам AC и AB и пересекающие сторону BC соответственно в точках M и E, FM = MC, FE = EB. Докажите, что точка F – точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Б-15

1.  Прямоугольный треугольник. Свойства прямоугольных треугольников (доказать свойство катета, лежащего против угла в 30).

2.  Построить окружность, проходящую через две данные точки, с радиусом. R = 3см

3.  Задача на признаки параллельности прямых.

·  Отрезки BD и CA пересекаются в точке O. Известно, что BC AD и BC = DA. Докажите, что АBO = DOC.

·  Докажите, что середина отрезка с концами на двух параллельных прямых является серединой любого проходящего через неё отрезка с концами на тех же прямых.

Б-16

1.  Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательство признака по гипотенузе и катету).

2.  Построить перпендикуляр к данной прямой через точку, лежащую на этой прямой.

3.  Задача на признаки равенства треугольников.

·  Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке О, так что АО = СО. Докажите равенство углов АВС и CAD.

·  Треугольники ABC и BAD равны. Их стороны AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOC и BOD тоже равны.

Б-17

1.  Определение треугольника. Виды треугольников в зависимости от углов и сторон.

2.  Построение прямых углов на местности.

3.  Задача на признаки параллельности прямых.

·  На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены соответственно точки P и Q так, что APQ = ABC. Докажите, что AQP = ACB.

·  Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. На луче, дополнительном к лучу СА, отмечена точка А1. Через точку А1 проведена прямая, параллельная АВ, которая пересекает луч, дополнительный к лучу СВ в точке В1. Докажите, что треугольник А1В1С тоже равнобедренный.

Б-18

1.  Теорема о соответственных углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей (доказать).

2.  Использование на практике такого свойства треугольника как жёсткость.

3.  Задача на окружность.

·  Постройте окружность радиуса 3см с центром О, отметьте на ней точку С. Найдите на окружности точки, расстояния до которых от точки С равны: а) 3см; б) 5см. Обозначьте найденные точки и соедините их с точкой С. Сколько отрезков получится? Лежит ли центр окружности на одном из этих отрезков?

·  Постройте прямоугольный треугольник АВС по АС = 4см и прилежащему А = 400.

·   

Б-19

1.  Теорема об односторонних углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей (доказать).

2.  Один из способов измерения ширины озера с использованием равенства треугольников.

3.  Задача на внешний угол треугольника.

·  Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 1200 и 1500.

·  Периметр равнобедренного треугольника равен 25см, разность двух сторон равна 4см, а один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника.

Б-20

1.  Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательство признака по гипотенузе и острому углу).

2.  Практические способы построения параллельных прямых.

3.  Задача на окружность.

·  Постройте прямоугольный треугольник АВС по катетам АС = 4см и ВС = 3см.

Б-21

1.  Устройство и принцип работы уголкового отражателя. Использование свойства уголкового отражателя в технике (использовать при ответе задачу на доказательство равенства падающего и отражённого лучей).

2.  Построить равнобедренный треугольник АВС по основанию АС = 4см и высоте BD = 5см.

3.  Задача на окружность.

·  Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равно 10см. Могут ли радиусы этих окружностей быть равными 5см и 3см?

·  Через концы диаметра АВ проведены прямые AD и BC, перпендикулярные к прямой АВ, так что точки D, O и C лежат на одной прямой. Докажите, что ADO = OCB.

Б-22

1.  Расстояние между параллельными прямыми. Теорема о свойстве параллельных прямых (доказать).

2.  Построить равнобедренный треугольник АВС по основанию АС = 6см и биссектрисе ВЕ = 4см.

3.  Задача на смежные углы.

·  Два смежных угла относятся как 4 : 5. Найдите эти углы.

·  Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен сумме смежных с ним углов. Чему равны эти углы?