ПРОГРАММА ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ФЭН (Эн1, Эн2, ТЭ, АТЭ), 1 курс.
1. Матрицы, их сложение, умножение на числа, перемножение и свойства этих операций.
2. Определители и их свойства. Элементарные преобразования строк и столбцов, их связь со значением определителя и использование для его вычисления.
3. Алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Разложение определителя по строке или по столбцу. Невырожденные системы и правило Крамера. Определение и формула обратной матрицы.
4. Числовые множества N, Z. Поля Q, R, и Zр. Расширения полей Q(√2) и С = R(i). Модуль, аргумент, степени и корни из комплексного числа. Алгебраическая замкнутость поля С.
5. Пространство геометрических векторов. Сложение и умножение на числа; восемь свойств линейных операций с векторами.
6. Абстрактное линейное пространство и его восемь аксиом. Простейшие следствия.
7. Линейные комбинация, (не)зависимость и (не)выразимость, их взаимосвязь. Базис линейного пространства, разложение по базису и координаты, их единственность. Действия над векторами в координатной форме.
8. Линейная независимость и зависимость геометрических векторов; базисы на прямой, на плоскости и в геометрическом векторном пространстве.
9. Декартов базис и координаты, связь координат с проекциями на базисные оси.
10. Скалярное произведение, его определение и свойства: симметричность, однородность, положительность и дистрибутивность. Выражение длин, углов, проекций. Критерий ортогональности.
11. Ориентированная тройка векторов, её эквивалентные определения и циклическое свойство.
12. Векторное произведение, его определение и свойства: антикоммутативность, дистрибутивность, неассоциативность и однородность. Приложения к вычислению площадей и восстановлению перпендикуляров. Критерий коллинеарности.
13. Определение и свойства смешанного произведения. Геометрический смысл его модуля и знака. Критерий компланарности.
14. Выражение произведений векторов через декартовы координаты.
15. Различные способы аналитического описания прямой и плоскости. Нахождение углов и расстояний между точками, прямыми и плоскостями.
16. Система линейных алгебраических уравнений, её векторно-столбцовая и матричная формы. Частное и общее решения, совместность и определённость.
17. Верхнетреугольная до k-го столбца, трапециевидная с заполнением l и единичная слева порядка r матрицы. Элементарные (гауссовы) преобразования расширенной матрицы системы.
18. Прямой ход Гаусса. Диагностика совместности системы по трапециевидной форме расширенной матрицы.
19. Обратный ход Гаусса. Свободные и связанные (ранговые) неизвестные. Запись решения в векторной форме. Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения системы.
20. Собственные векторы и числа матрицы: их определение и нахождение. Гауссов способ нахождения обратной матрицы.
21. Теорема о размерности. Ранг системы векторов; строчный и столбцовый ранги матрицы. Теорема о ранге.
22. Линейные операторы и действия с ними. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора в произвольном базисе.
23. Матрица в собственном базисе. Критерий приводимости матрицы к диагональному виду, необходимые и достаточные условия.
24. Смена базиса, матрица прямого и обратного переходов. Формула преобразования матрицы оператора при смене базиса.
25. Собственные числа, векторы, базис и диагонализация симметрической матрицы.
26. Квадратичные формы, их симметризованная матричная запись и канонический вид.
27. Знаковая определённость квадратичных форм. Спектральный критерий и критерий Сильвестра.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Кроме задач, аналогичных примерам из контрольных работ и типового расчёта, в билеты будут включены разнообразные геометрические задачи на отыскание углов и расстояний, а также неоднородные системы линейных уравнений.
2. При написании ответа вам желательно проявить знакомство со всеми четырьмя основными разделами курса, а именно:
(А) определители и матрицы;
(В) векторная алгебра и аналитическая геометрия;
(С) системы уравнений;
(D) линейные операторы и квадратичные формы.
Поэтому распределите время на подготовку так, чтобы ознакомиться со всеми разделами; по теории основательно выучите хотя бы определения и формулировки, не пренебрегайте просмотром того, как на практических занятиях решались задачи не из ТР. А если у вас не хватает уверенности в абстрактном мышлении, продумайте заранее, какие примеры вы можете привести вместо общих рассуждений (например, в методе Гаусса).
3. Поскольку экзамен проводится в письменной форме, основным развлечением для экзаменатора оказывается поиск смартфонов и внешних запоминающих элементов у экзаменующихся и изгнание вносителей таковых.
4. Продолжительность чистого времени 90 мин., выйти можно только сдав работу.
…А вообще, для большинства из ваших предшественников всё кончалось благополучно, так что
]]]]]] ПОЗДРАВЛЯЮ ВАС С НОВЫМ ГОДОМ! ]]]]]]
И ЖЕЛАЮ ВСЕВОЗМОЖНЫХ УСПЕХОВ —
]]]]И ПО АЛГЕБРЕ, И ВО ВСЁМ ОСТАЛЬНОМ!!! ]]]]
