Наиболее часто используемыми передаточными функциями являются коэффициент передачи по напряжению, входное и выходное сопротивление.
Рассмотрим расчет этих функций при известных параметрах четырехполюсника. Пусть известны Y-параметры четырехполюсника.
Используя второе уравнение в системе (4.43) I2 = Y21U1 + Y22U2 и формулу закона Ома для нагрузки U2 = - ZнI2 (рис. 4.11), получим выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению:
, (4.45)
где Yн = 1/Zн.
Используя формулу для входной проводимости Yвх = I1/U1 и деля первое уравнение в системе (4.43) на напряжение U1, найдем водную проводимость четырехполюсника:
. (4.46)
Аналогично, выходная проводимость четырехполюсника:
, (4.47)
где Yc = 1/Zc.
Рассмотрим методику расчета частотных характеристик линейных четырехполюсников. Комплексный коэффициент передачи по напряжению КU(jw), в дальнейшем просто К(jw), представляет собой запись двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ):
. (4.48)
Первая характеристика К(w) выражается модулем комплексного коэффициента передачи, а вторая j(w) – его аргументом (фазой):
; (4.49)
. (4.50)
Для цепей с сосредоточенными параметрами частотные характеристики могут быть представлены в виде отношения двух полиномов:
. (4.51)
Если обозначить jw = р, выражение (4.51) можно записать в виде:
. (4.52)
Выражение (4.52) называется операторным коэффициентом передачи
Исследование свойств полиномов А(р) и В(р) позволяет ответить на многие вопросы, связанные с определением реакции линейной цепи на сложное воздействие. В этой лекции рассматриваются частотные характеристики в плане их применения к анализу цепей при синусоидальном воздействии.
Если Zc << Z11, а Z22 << Zн (рис. 4.11), то операторный коэффициент передачи приблизительно можно определить без учета сопротивлений источника сигнала и нагрузки:
. (4.53)
Рассмотрим примеры определения частотных характеристик простейших четырехполюсников, для которых выполняется условие (4.53).
Найти выражения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи напряжения для четырехполюсника, изображенного на рис. 4.12, а.
Рис. 4.12. RC-фильтр верхних частот первого порядка (а) и его АЧХ (б) и ФЧХ (в)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
. (4.54)
Комплексный коэффициент передачи (р = jw)^
. (4.55)
Комплексный коэффициент передачи в алгебраической форме (4.48):
. (4.56)
Модуль коэффициента передачи (4.49):
. (4.57)
Фазовый сдвиг между выходным и входным напряжением (4.50):
. (4.58)
Графики, рассчитанные по полученным формулам, показаны на рис. 4.12, б и 4.12, в.
Найти выражения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи напряжения для четырехполюсника, изображенного на рис. 4.13, а.
Рис. 4.13. RC-фильтр нижних частот первого порядка (а) и его АЧХ (б) и ФЧХ (в)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
. (4.59)
Комплексный коэффициент передачи (р = jw):
. (4.60)
Комплексный коэффициент передачи в алгебраической форме (4.48):
. (4.61)
Модуль коэффициента передачи (4.49):
. (5.22)
Фазовый сдвиг между выходным и входным напряжением (4.50):
. (5.23)
Графики, рассчитанные по полученным формулам, показаны на рис. 4.13, б и 4.13, в.
Найти выражение амплитудно-частотной характеристики коэффициента передачи четырехполюсника, изображенного на рис. 5.4, а.
Рис. 4.14. Полосовой RLC-фильтр второго порядка (а) и его АЧХ (б)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
. (4.64)
Комплексный коэффициент передачи (р = jw):
. (4.65)
Для определения модуля коэффициента передачи К(w) воспользуемся известным положением теории комплексных чисел о том, что произведение комплексного числа на комплексно-сопряженное число равно квадрату его модуля:
,
,
. (4.66)
Очевидно, что коэффициент передачи на резонансной частоте 
будет максимальным, К(w0) = 1.
АЧХ, рассчитанная по формуле (4.66), приведена на рис. 4.14, б.
Найти выражение амплитудно-частотной характеристики четырехполюсника, изображенного на рис. 4.15, а.
Рис. 4.15. Режекторный RLC-фильтр второго порядка (а) и его АЧХ (б)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
. (4.67)
Комплексный коэффициент передачи (р = jw):
. (4.68)
Модуль коэффициента передачи (4.66):
. (4.69)
Очевидно, что коэффициент передачи на резонансной частоте будет минимальным, К(w0) = 0.
АЧХ, рассчитанная по формуле (4.69), приведена на рис. 4.15, б.
В современных системах передачи информации широко используется частотный принцип разделения сигналов. В соответствии с этим каждому сигналу соответствует своя полоса частот, которая определяется спектром сигнала. Важнейшую роль при обработке сигналов в таких системах играют электрические фильтры.
Электрический частотный фильтр (в дальнейшем просто фильтр) – это четырехполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Фильтр пропускает сигналы только в определенной полосе частот; сигналы (помехи), частоты которых не попадают в эту полосу, подавляются.
По диапазону пропускаемых частот фильтры делятся на фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные (РФ) или заграждающие (ЗФ) фильтры. Условные обозначения (УГО) этих фильтров показаны на рис. 4.16.
Рис. 4.16. УГО фильтров
Рассмотрим амплитудно-частотную характеристику фильтра, например, ФНЧ (рис. 4.16., а).
Рис. 4.17. АЧХ типового ФНЧ (а) и зависимость АЧХ от порядка фильтра (б)
Из рисунка видно, что полоса пропускания (ПП) фильтра занимает область частот от 0 до некоторой частоты fс, которая называется частотой среза. В полосе пропускания задается максимально допустимое ослабление сигнала (максимальная неравномерность АЧХ в полосе пропускания). В нашем примере ослабление не превышает 1,414 (3 дБ).
Полоса заграждения (ПЗ) – это область частот от некоторой частоты fз, которая называется граничной частотой полосы задержания, до бесконечности. В полосе заграждения сигнал (помеха) должен быть ослаблен в заданное число раз. В нашем примере – в 20 раз (на 26 дБ).
Из рисунка видно, что между полосой пропускания и полосой заграждения существует переходная область (от fс до fз), в которой полезный сигнал недопустимо ослабляется, а ненужные сигналы (помехи) ослабляются недостаточно. Очевидно, что чем уже переходная область, тем лучше фильтр. Ширина переходной области определяется порядком фильтра (N). Порядок фильтра – это количество независимых реактивных элементов (C, L) в его схеме. Количество независимых реактивных элементов определяет максимальную степень полинома знаменателя операторной передаточной функции (4.52). Зависимость АЧХ фильтра от его порядка приведена на рис. 4.17, б.
Идеальный ФНЧ (1) не имеет переходной области (fс = fз), полезный сигнал не искажается в полосе пропускания, а помехи полностью подавляются в полосе заграждения. Однако очевидно, что идеальный фильтр физически нереализуем, так как невозможно собрать схему с бесконечным количеством реактивных элементов. Чем выше порядок фильтра, тем больше можно приблизиться к идеальной АЧХ (2, 3, 4), но при этом усложняется схема (увеличивается стоимость фильтра), ухудшается отношение сигнал/шум и т. д.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
