Модель: определение, назначение. Классификация моделей (стр. 3 )

9. Методы и средства компьютерного моделирования объектов и процессов.

10. Тестирование и проверка адекватности математической модели.

Адекватность модели - соответствие модели моделируемому объекту или процессу.

В процессе проверки модели необходимо установить включение в модель всех существенных факторов. Сложность решения этой проблемы зависит от сложности решаемой задачи.

Исходный вариант модели необходимо проверить по следующим аспектам:

1)  все ли существенные параметры включены в модель?

2)  нет ли в модели несущественных параметров?

3)  правильно ли отражены связи между параметрами?

4)  правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Для проверки рекомендуется привлекать специалистов, которые не принимали участия в разработке модели. Они могут более объективно рассмотреть модель и заметить ее слабые стороны, чем ее разработчики. Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки. После этого приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются следующие пути:

• сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;

• использование других близких моделей;

• сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. Однако она требует накопления статистики, которая далеко не всегда бывает достаточной для получения надежных данных. Для многих моделей первые два пути приемлемы в меньшей степени. В этом случае остается один путь: заключение о подобии модели и прототипа делать на основе сопоставления их структур и реализуемых функций. Такие заключения не носят формального характера, поскольку основываются на опыте и интуиции исследователя.

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

11. Характеристика численных методов, используемых при моделировании.

Любой численный метод линейной алгебры можно рассматривать как некоторую последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод позволяет найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод называется прямым. В противоположном случае численный метод называется итерационным. Прямые методы - это такие, как метод Гаусса, метод окаймления, метод пополнения, метод сопряжённых градиентов и др. Итерационные методы - это метод простой итерации, метод вращений, метод переменных направлений, метод релаксации и др. Здесь будут рассматриваться матричный метод, метод Гаусса и метод Крамера.

MathCAD.

Программа MathCAD по своему назначению позволяет моделировать в электронном документе научно-технические, а также экономические расчёты в форме, достаточно близкой к общепринятым ручным расчётам. Это упрощает составление программы расчёта, автоматизирует перерасчёт и построение графических иллюстраций подобно электронным таблицам Excel, документирование результатов как в текстовом редакторе Word.

Программа Mathcad известна за лёгкость, с которой математические уравнения, текст, и графика могут быть объединены в одном документе. Кроме того, вычислительные способности Mathcad распространяются от сложения столбца чисел к решению интегралов и производных, решение систем уравнений и больше.

Достоинством MathCAD является также наличие в его составе электронных книг. Одна из них - учебник по самой программе, другие - справочник по различным разделам математики, физики, радиоэлектроники и др.

12. Идея и основные понятия метода конечных элементов. История развития метода.

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной механики. Широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплоообмена, гидродинамики и электромагнитных полей. С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения. Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах (идея МКЭ была разработана советскими учёными ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развитие). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать, как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина, или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя метод конечных элементов. Метод конечных элементов (МКЭ) является сеточным методом, предназначенным для решения задач микроуровня, для которого модель объекта задается системой дифференциальных уравнений в частных производных с заданными краевыми условиями.

Метод конечных элементов по существу сводится к  аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими  элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. 

Появилась необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти (носители финитных базисных функций, об этом ниже) и получили название конечных элементов.

13. Этапы решения задачи с помощью МКЭ. Виды конечных элементов.

МКЭ может быть представлен в виде трех последовательных этапов решения задачи: начальной подготовки (препроцессов); получение решений (решатель); обработка результатов моделирования (постпроцессов).

1)  Создается модель изделия (геометрическая и расчетная)

Задаются свойства материала (модуль упругости, модуль сдвига расчета деформаций, коэффициент Пуассона и др.)

Задаются силовые факторы (ограничения, нагрузки).

Генерируется сеточная модель

2)  Запуск метода конечных элементов

3)  Анализ результатов

Возможности препроцессора:

1)создание простейшей геометрии и импорт из CAD систем сложной геометрии

2)создание собственных и импорт сеток конечных элементов

3)библиотека материалов с возможностью добавления новых материалов

4)выбор моделей исследуемых процессов из перечня известных в области ОМД и подготовка данных для них

5)Задание начальных и граничных условий исследуемого процесса

6)Широкие возможности по установке параметров моделирования: количество шагов, шаг сохранения результата, критерии остановки процесса, переразбиение сетки.

Возможности решателя:

1)автоматическое перестроение сетки

2)распараллеливание процесса решения

Возможности постпроцессора:

1)графическое представление результата вычисления по шагам (общее, в указанной точке, между двумя точками)

2)определение направления течения материала

3)вывод информации в качестве текстовых, графических и видео файлов.

Существуют разнообразные формы КЭ:

1)тетраэдр – 3х мерный, 4х гранный элемент с числом узлов 4 - 10

2)бокс – шестигранный 3х мерный элемент с количеством узлов 8 – 20

Решение задач методом конечных элементов условно можно разделить на следующие этапы:

Этап 1. Расчетная область.На первом шаге создается расчетная область, для этого необходимо определить ее геометрический вид, определить свойства симметричности, определить ее размер. На этом этапе очень важно создать корректную и максимально простую модель расчетной области. Необходимо исключать все элементы, которые приводят к усложнению модели, а на итоговый расчет не оказывают влияние. Примером могут служить различные технологические отверстия в инструменте, направляющие устройства для закрепления, если речь идет о прочностных расчетах или расчетах механики деформируемого твердого тела. Особое внимание следует обратить на скругления и сопряжения плоскостей. Если это возможно, следует избегатьскруглений очень малыми радиусами - это приведет к значительному увеличению конечных элементов для описания подобных поверхностей. Если присутствуют видимые поверхностные дефекты сопряжений или так называемые «изломы поверхностей» стоит перестроить эти элементы или сгладить область скруглениями. Подобные проблемы могут проявиться на стадии генерации сетки конечных элементов и потребуют ручного исправления отдельных областей, что является весьма нетривиальной задачей.

Далее расчетная область передается в сторонний или встроенный решатель - сеточный генератор.

Этап 2. Сетка.На втором этапе расчетную область разбивают на конечное число элементов. Качество наложенной на расчетную область сетки имеет очень большое значение. Если сетка будет низкого качества, то не удастся получить либо сходимости, либо верного результата, а возможно и того, и другого.