Введение (стр. 6 )

8.2.4.9. Плоскость (ABC) повернуть вокруг оси i таким образом, чтобы точка М оказалась в этой плоскости.

8.2.4.10. Построить проекции квадрата ABCD, вершина D, которого принадлежит прямой а.

9. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

В начертательной геометрии поверхность рассматривают как геометрическое место последовательных положений линии (образующей), движущейся в пространстве по определенному закону.

Кривые поверхности по виду образующей можно разделить на два класса:

- линейчатые, образующая которых является прямая линия;

- нелинейчатые, образованные движением кривой.

К линейчатым поверхностям относятся, например:

- конические – прямолинейная образующая проходит через вершину конической поверхности и последовательно все точки некоторой кривой (направляющей).

- цилиндрические – прямолинейная образующая во всех своих положениях параллельна некоторой заданной прямой и последовательно проходит через все точки некоторой кривой (направляющей).

- винтовые – прямолинейная образующая проходит последовательно через все точки пространственной кривой – винтовой линии и пересекает ось винтовой линии под постоянным углом.

а) б) в) Рис. 9.1

На рис. 9.1 приведены примеры некоторых линейчатых поверхностей: конуса (а), цилиндр (б), прямой геликоид (в).

При вращении образующей вокруг неподвижной оси получается поверхность, называемая поверхностью вращения. Каждая точка этой поверхности описывает около оси окружность, следовательно, любая плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересечет поверхность вращения по окружности с центром на этой оси. Эти окружности называются параллелями (рис. 9.2). Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую – горлом.

Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения называется меридиональной, а линия пересечения этой плоскости с поверхностью вращения – меридианом поверхности. Если ось поверхности вращения перпендикулярна плоскости p1, то меридиан, лежащий во фронтальной плоскости называется фронтальным меридианом, а в профильной, соответственно, профильным меридианом.

На рис. 9.3. приведены некоторые поверхности вращения: конус вращения (а), цилиндр вращения (б), сфера (в).

Если точка лежит на поверхности, то проекции точек принадлежат линиям поверхности.

На рис. 9.1 (а) точка А на поверхности конуса лежит на образующей S1, соединяющей вершину S с точкой на основании 1.

На рис. 9.1 (б) точка В на поверхности цилиндра лежит на образующей, проходящей через точку 1 и параллельной оси круговых сечений i.

На рис. 9.1. (в) точка М на винтовой поверхности лежит на образующей, соединяющей точку 1 винтовой линии m с осью i и проходящей параллельно плоскости p1.

На рис. 9.3. (а, б, в) точки А, В, С на соответствующих поверхностях лежат на параллелях этих поверхностей, а точки M и N на фронтальных меридианах (очерковых линиях) конуса и сферы соответственно.

Рис. 9.2

а) б) в) Рис. 9.3

9.1. Задачи

9.1.1. Построить проекции цилиндра, заданного его основанием и горизонтальной проекцией образующей А1В1. Точка М лежит на поверхности цилиндра.

9.1.2. Построить проекции сферы, если даны проекции центра сферы 0 и точки М, лежащей на этой сфере.

9.1.3. Построить проекции конуса вращения с вершиной в данной точке S и основанием лежащим в плоскости . Радиус основания равен высоте конуса.

9.1.4. Построить проекции конуса вращения, ось которого лежит на прямой а. Высота конуса равна l, окружность основания касается плоскости .

9.1.5. Найти недостающие проекции точек A,B,C,D на поверхности сферы (а); M,N,P на поверхности цилиндра (б); E,F,K,L на поверхности тора (в).

9.1.6. Построить фронтальную проекцию линии АВ на поверхности конуса вращения (а); горизонтальную проекцию линии MN на поверхности наклонного цилиндра (б); горизонтальную и профильную проекции линий АВС на поверхности сферы (в).

9.1.7. Поворотом вокруг оси i точку А совместить с поверхностью сферы (а), а точку В- с поверхностью тора (б).

10. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Для построения линии пересечения поверхности плоскостью в общем случае применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Точки искомой линии определяются, как точки пересечения линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость.

При подборе вспомогательных плоскостей необходимо стремится к упрощению построений. Предпочтение следует отдавать проецирующим плоскостям, пересекающим заданную поверхность по возможно более простым линиям.

Важен также правильный и последовательный порядок построения особых точек проекций сечения:

-  высшей и низшей точек сечения (они принадлежат меридиану, перпендикулярному секущей плоскости);

-  точек касания проекций сечения к проекциям видимого контура кривой поверхности, если такие имеются (границы видимости);

-  точек наиболее и наименее удаленных от плоскостей проекций.

На рис. 10.1. изображено тело вращения, срезанное плоскостью, заданной трапецией ABCD. Для построения точек кривых линий, получаемых на поверхности, применены вспомогательные горизонтальные плоскости, пересекающие поверхность по параллелям, а плоскость по горизонталям.

Рис. 10.1.

Рассмотрим для примера одну из них . Поверхность вращения эта плоскость пересекает по параллели - окружности радиуса 0212, а плоскость ABCD по горизонтали A’D’//AD. В пересечении параллели и горизонтали находим точки M и N, принадлежащие одновременно и поверхности вращения и плоскости, следовательно, являющиеся точками искомой линии пересечения. Повторяя этот прием получим ряд точек, определяющих криволинейную часть линии среза. Плоские грани данного тела вращения срезаны плоскостью ABCD по прямым AB и CD.

Решение задачи существенно упрощается, если поверхность пересекается проецирующей плоскостью.

На рис. 10.2. показано построение линии пересечения самопересе­кающегося тора и фронтально-проецирующей плоскости . Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом проекцией плоскости между опорными точками А и В, лежащими на фронтальном очерке тора, а горизонтальная проекция определяется по принадлежности точек этой линии поверхности тора (так как тор является поверхностью вращения - по принадлежности их соответствующим параллелям и меридианам). Построение

Рис. 10.2.

начинаем с определения особых точек: высшей и низшей точек А и В, и точек, лежащих на горизонтальном очерке M и N (границ видимости). Фронтальные проекции точек А и В лежат на фронтальном очерке, следовательно, их горизонтальные проекции А1 и В1 лежат на горизонтальной осевой линии. Точки M и N принадлежат экватору тора, следовательно, их горизонтальные проекции лежат на горизонтальном очерке тора и отделяют зону видимости линии пересечения (от точки В до точек M и N) от невидимой части кривой.

Для нахождения промежуточных точек используем параллели соответствующего радиуса, на которых лежат точки пересечения. Например, точки С и D лежат на параллели радиуса 0212. Проведя горизонтальную проекцию этой параллели, проецируем на нее точки С и D. Аналогично определяются горизонтальные проекции других промежуточных точек (E,F,K,L). Соединив полученные точки на горизонтальной проекции в той же последовательности, как они соединены на фронтальной проекции, с учетом видимости получаем горизонтальную проекцию линии пересечения.