Введение (стр. 7 )

При пересечении поверхности плоскостью общего положения, способом преобразования чертежа можно плоскость преобразовать в проецирующую и решение задачи свести к решению, аналогичному рассмотренному выше.

10.1. Задачи

10.1.1. Построить недостающую проекцию цилиндра вращения и построить его сечение плоскостью .

10.1.2. Построить сечение заданного цилиндра плоскостью .

10.1.3. Построить профильную проекцию цилиндра и его сечение горизонтальными и профильными плоскостями.

10.1.4. Рассечь данный цилиндр плоскостью, параллельной его оси и наклоненной к плоскости под углом 450 так, чтобы сечение было равновелико данному квадрату. Указать количество решений.

10.1.5. Построить проекции и натуральную величину сечения цилиндра плоскостью , заданной пересекающимися прямыми h и f.

10.1.6. Построить проекции и натуральную величину сечения конуса вращения плоскостью.

10.1.7. Построить сечение конуса плоскостью.

10.1.8. Дана прямая а1 лежащая в основании конуса. Построить плоскость , проходящую через эту прямую, и рассекающую конус по параболе. Построить проекции сечения.

10.1.9. Построить проекции и натуральную величину сечения конуса плоскостью , заданной пересекающимися прямыми h и f.

10.1.10. Построить горизонтальную и профильную проекции сечения конуса вращения горизонтальными и фронтально- проецирующими плоскостями.

10.1.11. Построить сечения сферы плоскостью, заданной прямой а и точкой А на поверхности сферы.

10.1.12. Построить на сфере кратчайшее расстояние между точками А и В на ней.

10.1.13. Построить горизонтальную и профильную проекции сечения сферы горизонтальными и профильными плоскостями.

10.1.14. Построить проекции и натуральную величину сечения тора плоскостью .

11. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Для определения точек пересечения прямой линии и поверхности, как правило, пользуются вспомогательной секущей плоскостью, проходящую через данную прямую. Точки пересечения прямой с полученной фигурой сечения являются искомыми точками пересечения прямой с поверхностью. Очевидно, что вспомогательную секущую плоскость нужно выбирать так, чтобы проекция сечения представляла по возможности графически простые линии: прямые или окружности. Например, при определении точек пересечения прямой l c поверхностью цилиндра (рис. 11.1.) следует выбирать секущую плоскость , заданную прямой l и пересекающейся с ней прямой m, параллельно образующим цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по его образующим. Для определения этих образующих найдем горизонтальный след MN плоскости . Отметим точки 1 и 2 пересечения следа MN с основанием цилиндра (оно расположено в горизонтальной плоскости ). Через эти точки проведем горизонтальные проекции образующих 11’ и 22’ и на пересечении этих образующих с горизонтальной проекцией заданной прямой l найдем искомые точки А и В пересечения прямой l с поверхностью цилиндра.

Рис. 11.1

Для определения точек пересечения прямой l c поверхностью сферы (рис. 11.2.) выбираем вспомогательную горизонтальную плоскость , пересекающую сферу по окружности радиуса 0’212. На пересечении горизонтальной проекции этой окружности с горизонтальной проекцией прямой l определяем искомые точки пересечения А и В.

Когда нет возможности провести секущую плоскость так, чтобы она рассекала данную поверхность по графически простым линиям, тогда через заданную прямую проводят проецирующую секущую плоскость и строят фигуры сечения по правилам, изложенным в разделе 10 (см. рис. 10.2.)

Рис. 11.2

11.1. Задачи

11.1.1. Определить точки пересечения прямой m с поверхностью сферы.

a) б)

а) б) в)

11.1.2. Определить точки пересечения прямой m с поверхностью цилиндра.

11.1.3. Определить точки пересечения прямой m с поверхностью конуса.

а) б) в)

11.1.4. Определить точки пересечения прямой m с поверхностью тора.

11.1.5. Определить кратчайшее расстояние от точки М до поверхности конуса (а) и от точки А до поверхности цилиндра (б).

а) б)

12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

12.1. Пересечение кривой поверхности с гранной

Линия пересечения кривой поверхности с многогранником состоит из плоских кривых, каждая из которых получается в результате сечения кривой поверхности одной из граней многогранника. Точки, в которых эти плоские кривые соединяются друг с другом, являются точками пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Таким образом, задача на построение линии пересечения кривой поверхности с многогранником может быть сведена к задачам на пересечение кривой поверхности с плоскостью (см. раздел 10) и прямой линией (см. раздел 11).

12.2. Взаимное пересечение кривых поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую. Эту линию строят по отдельным ее точкам.

Общим способом построения этих точек является метод вспомогательных секущих плоскостей, который заключается в следующем. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью, определяют линии пересечения ее с данными поверхностями. В пересечении этих линий находят точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве вспомогательных поверхностей применяются плоскости и сферы. Секущие поверхности выбираются таким образом, чтобы они пересекали заданные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям).

Построение начинают с опорных точек, к которым относятся экстремальные точки (точки, самые близкие и наиболее удаленные от плоскостей проекций) и точки видимости (точки, лежащие на контурной линии поверхности). После этого определяют достаточное число произвольных точек.

12.2.1. Способ вспомогательных секущих проецирующих плоскостей-посредников

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей в том случае, когда вспомогательные секущие плоскости дают в пересечении с каждой из данных поверхностей такие линии, как прямые или окружности.

Пример. Построить линию пересечения кругового конуса Ф(i,l) со сферой Ф(i’,m) (рис. 12.1).