7 класс (стр. 5 )

1. Построено изображение девочки в зеркале в предельном случае – 5 баллов.

2. Получено значение угла – 5 баллов.

(1-2 балла могут быть засчитаны за правильное построение изображения девочки).

11 класс

1. (10 баллов) Гепард, заметив антилопу, убегающую от него со скоростью м/с, начинает ее преследовать. Разгоняясь равноускоренно, он за с развивает скорость м/с, с которой бежит в течение с. Затем, почувствовав перегрев своего тела, гепард прекращает преследование, останавливаясь с тем же по модулю ускорением, что и при разгоне. На каком максимальном расстоянии должны находиться друг от друга в начальный момент эти животные, чтобы гепард мог полакомиться свежепойманной антилопой?

Замечание. Вследствие отсутствия потовых желез на теле и плохого отвода теплоты через шкуру гепард не может развивать максимальную скорость (примерно 110 км/ч) в течение длительного времени без опасного для его организма перегрева.

Решение.

Поместим начало системы координат в точку старта гепарда, а координатную ось направим вдоль прямой, по которой движутся животные. На рисунке изображены графики зависимости координат и скоростей гепарда и антилопы от времени. Из рисунка видно, что гепард догонит антилопу, если расстояние между животными в момент начала погони не превышает . В свою очередь, находится из условия, что в тот момент, когда гепард догоняет антилопу, одновременно с равенством координат достигается и равенство их скоростей (если в этот момент гепард не схватит антилопу, то в следующем он будет отставать).

Из рисунка видно, что время движения животных до момента, когда их скорости сравняются, равно

,

при этом входящий в это время промежуток времени может быть найден из отношения

,

которое следует из условия подобия треугольников на графиках . Отсюда

.

Пути, пройденные гепардом и антилопой за время , равны:

, .

Начальное расстояние между гепардом и антилопой равно разности их путей:

.

Ответ:

м.

1. Выполнен рисунок – 2 балла.

2. Выполнен рисунок – 2 балла.

3. Определено время, за которое гепард догонит антилопу – 2 балла.

4. Найдены расстояния, проходимые гепардом и антилопой – 2 балла.

5. Получен ответ – 2 балла.

2. (10 баллов) Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд с теплопроводящими стенками, заполненный аргоном плотностью кг/м3, закрыт подвижным поршнем и находится в комнате. Площадь поршня равна м2. В сосуде ко дну на нити прикреплен шар объемом см3, сделанный из тонкого нерастяжимого и теплопроводящего материала и заполненный гелием; масса шара с гелием равна г. После того, как протопили печь, и воздух в комнате прогрелся, поршень переместился вправо на расстояние см. Найдите изменение силы натяжения нити, удерживающей шар. Ускорение свободного падения м/с2.

Решение.

При перемещении поршня объем аргона изменился со значения до значения , увеличившись в раз. В такое же количество раз уменьшилась плотность аргона – в конце процесса она равна . Следовательно, выталкивающая сила, действующая на шар, уменьшилась на величину

.

На такую же величину уменьшилась и сила натяжения нити, удерживающей шар. Поэтому изменение этой силы равно

Н,

если только оно не превышает по величине начальной силы натяжения нити, то есть если шар в конце нагревания не ляжет на дно цилиндра.

Проверим это: вначале сила натяжения нити была равна разности силы Архимеда и веса шара с гелием:

Н .

Значит, нить в конце останется натянутой, и ответ справедлив.

1. Найдено абсолютное измерение объема – 1 балл.

2. Найдено относительное изменение объема – 1 балл.

3. Найдено относительное изменение плотности аргона – 2 балла.

4. Найдено изменение выталкивающей силы – 2 балла.

5. Указано, что изменение выталкивающей силы равно изменению силы натяжения и получен ответ – 2 балла.

6. Проведено проверка возможности шара остаться на весу – 2 балла.

3. (10 баллов) Два маленьких тела массы бросают из одной точки. Экспериментатор хочет добиться, чтобы траектории тел были зеркально симметричны друг другу относительно лески , которая натянута под углом к горизонту. Для этого экспериментатор придал одному телу заряд , а другое оставил незаряженным. Начальные скорости составляют одинаковый угол с леской и лежат в одной вертикальной плоскости. Какое постоянное внешнее электрическое поле надо создать экспериментатору? Ускорение свободного падения равно .

Решение.

На незаряженное тело действует сила , направленная вертикально вниз. На заряженное тело действует сила . Чтобы удовлетворить условиям задачи, должна быть симметрична силе относительно .

Проектируя симметричные силы и на ось , параллельную леске, получим равенство

,

где значок означает проектирование. Отсюда , и вектор направлен перпендикулярно оси .