7 класс (стр. 1 )

7 класс

1. (5 баллов) Из Санкт-Петербурга в сторону Москвы с интервалов в 10 минут вышли два электропоезда со скоростью 54 км/ч. Какую скорость имел встречный поезд, если он встретил второй поезд через 4 минуты после первого?

Решение.

Расстояние между электропоездами

км.

Это же расстояние встречный поезд проходит за мин со скоростью . Следовательно,

,

откуда

км/ч.

1. Определено расстояние между поездами – 1 балл.

2. Определена относительная скорость встречного поезда – 2 балла.

3. Найдена скорость встречного поезда – 2 балла.

2. (10 баллов) Пятидесятиметровый бассейн шириной 20 м имеет профиль дна, показанный на рисунке: через каждый 12,5 м глубина бассейна увеличивается на 1 м. Пустой бассейн начинают заполнять водой, наливая ее со скоростью 1000 литров в минуту. Построить график зависимости высоты уровня воды над самой глубокой частью дна бассейна от времени и определить, через какое время бассейн заполнится водой.

Решение.

График:

Бассейн заполнится за 2500 минут = 41 час 40 минут.

1. Правильно построена скорость заполнения бассейна на каждом участке – по 2 балла.

2. Определено время заполнения бассейна – 2 балла.

3. (10 баллов) Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась равной кг/м3. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе, плотность одной из которых в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих частей бруска. Массой краски можно пренебречь.

Решение.

Пусть - масса каждой из частей бруска, и - их плотности. Тогда части бруска имеют объемы и , а весь брусок массу и объем . Средняя плотность бруска

.

Отсюда находим плотности частей бруска:

кг/м3, кг/м3.

1. Определено, что средняя плотность бруска есть – по 1 балл.

2. Определены объемы каждой части бруска и – 2 балла.

3. Определен весь объем бруска – 2 балла.

4. Выражена средняя плотность бруска через – 1 балла.

5. Найдена плотность каждого бруска – по 2 балла.

4. (10 баллов) Петя пользуется не совсем точной линейкой и весами. Результаты измерений могут быть как больше, так и меньше настоящих значений. Однако, Пете известно, что при измерениях линейкой результат отличается от настоящего не больше, чем на 5 миллиметров; ошибка измерения на весах – не более 100 грамм. Петя получил следующие результаты: длина кирпича 240 мм, ширина 140 мм, высота 60 мм, вес 3 кг. Петя интересуется плотностью кирпича. Какой может быть настоящая плотность кирпича (укажите минимально и максимально возможное значение)?

Решение.

Петя получит не фиксированный результат, а значения, лежащие в каком-то диапазоне, который и нужно оценить.

Плотность равна отношению массы к объему, и необходимо найти наибольшую и наименьшую возможные плотности. Наибольшая плотность будет тогда, когда масса наибольшая, а объем наименьший. Соответственно, наименьшая плотность будет при максимальном объеме и минимальной массе.

Обозначим длину, ширину и высоту кирпича, измеренный Петей см, см и см, соответственно. Если см – погрешность измерения, то настоящий объем кирпича лежит в промежутке

см3,

см3.

Массу обозначим г, а погрешность измерения массы г. Тогда интервал возможных значений масс

г,

г.

Теперь несложно найти максимальную и минимальную плотности:

г/ см3,

г/ см3.

1. Вывод о том, что наибольшая плотность будет тогда, когда масса наибольшая, а объем наименьший и наоборот – 2 балла.

2. Определен минимальный объем – 1 балл.

3. Определен максимальный объем – 1 балл.

4. Определена максимальная масса – 1 балл.

5. Определена минимальная масса – 1 балл.

6. Определена минимальная плотность – 2 балл.

7. Определена максимальная плотность – 2 балла.

8 класс

1. (5 баллов) Хоттабыч летел за своей лампой на квадратном ковре-самолете, сторона которого м, толщина см, а плотность г/см3. Увидев Шайтаныча, он решив замаскироваться, приземлился в лесу, плотно свернул ковер и поставил его в сугроб. Рулон оставил в снегу след площадью м2. Помогите Хоттабычу определить, какова средняя плотность получившегося рулона.

Решение.

За время маскировки масса ковра-самолета не изменилась, поэтому найдем ее исходя из исходных данных:

.

После маскировки ковер-самолет имеет объем, равный , следовательно, средняя плотность ковра равна

г/см3.

1. Определен объем ковра – 1 балл.

2. Определена масса ковра – 1 балла.

3. Определен объем ковра после маскировки – 1 балла.

4. Определена средняя плотность рулона – 2 балла.

2. (10 баллов) По круглой гоночной трассе из точки О в разные стороны стартуют Петров и Алонсо. Скорость Алонсо в два раза больше, чем скорость Петрова . Гонка закончилась, когда спортсмены одновременно вернулись в точку О. Сколько мест встреч, отличных от точки О, было у гонщиков?

Решение.

Машины едут по трассе навстречу друг другу. Если длина трассы , то встреча произойдет тогда, когда

, (1)

или в соответствии с условием задачи

. (2)

Отсюда следует, что до первой встречи Петров проедет , а Алонсо . К моменту второй встречи Петров проедет еще , а к третьей встрече проедет круг и вернется в точку О. Алонсо за это время проедет два круга, и гонка завершится. Таким образом, у гонщиков было два места встречи, отличных от точки О.