Первичные представления об измерениях, измерительных приборах и методах определения погрешностей измерений (стр. 16 )

1. Прологарифмируем выражение для мощности:

.

2. Найдем приращение логарифма мощности:

.

Здесь вместо знака «минус» ставим на знак «плюс», чтобы определить максимальную абсолютную погрешность, которая определяется положительной величиной.

3. Вычисляем относительную погрешность:

.

4. Выразим относительную погрешность в процентах: .

5. По относительной погрешности найдем абсолютную погрешность:

.

6. Записываем окончательный результат:

.

При вычислении абсолютной и относительной погрешности косвенных измерений можно пользоваться любым методом, но наиболее обоснованными являются первые два метода. Поэтому они для нас будут предпочтительными. Кроме того, третий метод хорошо используется только в случае если формула, определяющая величину, представляет собой дробь или произведение некоторых величин.

Как видно из всех приведенных выше примеров, абсолютная погрешность имеет всего одну значащую цифру.

13. Метод наименьших квадратов и его применение для анализа результатов экспериментальных зависимостей

В предыдущих параграфах рассмотрены измерения некоторой величины при неизменных условиях измерения. Однако часто возникают задачи, в которых требуется получить экспериментальную зависимость между некоторыми величинами. Примерами таких задач является исследование зависимости температуры твердого тела от времени при его нагревании или охлаждении, исследование зависимости пути, пройденного телом при равноускоренном движении, от времени, исследование зависимости мощности электрического тока от величины силы тока и другие. При решении таких задач, чаще всего, строятся графики зависимостей. При этом каждая точка графика наносится с учетом погрешностей. Однако главной задачей таких исследований является получение аналитической функциональной зависимости между величинами, так как она позволяет вычислить количественные характеристики искомой закономерности. Одним из методов получения такой аналитической зависимости является метод наименьших квадратов.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Пусть производится измерение некоторой величины . Эта величина зависит от другой величины . Задача состоит в том, чтобы построить график этой зависимости и получить ее аналитическое выражение.

Будем проводить измерения. При этом получим значения величины , соответствующие значениям аргумента . На графике результаты этих измерений будут представлены в виде точек с координатами , и по этим точкам можно определить эмпирическую зависимость от переменной .

Измеренные значения будет в общем случае смещены относительно истинной искомой кривой как в сторону больших, так и в сторону меньших значений, вследствие наличия погрешностей измерений.

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным точкам провести кривую, которая проходила бы как можно ближе к функциональной зависимости . Из теории вероятностей следует, что наилучшим приближением будет такая кривая или прямая линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Это значит, что функция , определяемая по формуле (13.1), должна принимать минимальные значения.

. (13.1)

Теперь возникает вопрос, от каких переменных зависит эта функция? Ясно, что она зависит от параметров, которыми определяется аналитическая функция . Обозначим эти параметры буквами . Это могут быть параметры линейной или какой-либо другой зависимости. Тогда имеем

. (13.2)

Наша задача состоит в том, чтобы найти параметры функциональной зависимости, то есть параметры , которые соответствуют условию (13.2). Для решения этой задачи воспользуемся условием экстремума некоторой функции. Согласно этому условию функция принимает экстремальное значение при условии, что ее первые производные по указанным параметрам равняются нулю. Применение этого условия к функции (13.2) позволяет получить следующую систему уравнений:

. (13.3)

Система (13.3) содержит столько же уравнений, сколько параметров определяют искомую функцию. Решить эту систему в общем виде нельзя. Для ее решения необходимо задавать конкретный вид функции . Эта функция может быть задана в виде полинома второй степени, в виде линейной зависимости и т. д.

Наиболее наглядным случаем является представление зависимости в виде линейной зависимости, так как ей соответствует график в виде прямой линии, что легко позволяет определить правильность теории. Кроме того, во многих более сложных случаях функциональной зависимости можно использовать процедуру линеаризации. Эта процедура состоит в том, что с помощью обоснованных математических действий функция преобразуется к виду, который позволяет представлять ее в виде линейной зависимости . Ниже в таблице 9 приведены наиболее распространенные примеры линеаризации сложных функций.

Таблица №9

Способы линеаризации зависимостей

Вид нелинейной зависимости	Получаемая линейная зависимость

Рассмотрим частный случай, при котором искомая функция задается как линейная функция . Тогда нам по измеренным значениям и надо найти значения и . Для этого продифференцируем функцию по параметрам и . При этом получаем: