4.6. Интервальные оценки параметров распределения (стр. 2 )

Каждое из этих уравнений имеет решение, причём единственное, что следует из допущения б). Решениями уравнений являются квантили порядков и распределения статистики соответственно: ,

Обычно при определении и полагают . Это объясняется тем, что для симметричных распределений статистики (например, или ) такой выбор даёт доверительный интервал наименьшей длины. А для несимметричных распределений (, ) длина интервала будет близкой к минимальной и случайные выбросы статистики в обе стороны от интервала будут равновероятны.

Итак, выбираем и , в результате получаем

. (4.6.2)

4. Решим неравенства

(4.6.3)

относительно параметра :

. (4.6.4)

В силу допущения г) неравенства (4.6.3) разрешимы в виде (4.6.4) и, кроме того, неравенства (4.6.3) и (4.6.4) равносильны. Поэтому с учётом (4.6.2) можно записать:

,

т. е. неравенства определяют интервальную оценку параметра , см. (4.6.1).

Окончательно, по выборке находим доверительный интервал

.

Отметим, что для квантилей симметричных распределений статистики справедливо равенство , поэтому для таких распределений полагают и .

Итак, план построения доверительного интервала для параметра сводится к выполнению следующих действий.

1. Выбор доверительной вероятности .

2. Подбор или построение центральной статистики с известным законом распределения и нахождение квантилей и распределения этой статистики, если это распределение несимметрично или квантили , если оно симметрично.

3. Решение неравенств относительно неизвестного параметра , что приводит к искомому доверительному интервалу

(если распределение статистики симметрично, то ).

При построении доверительных интервалов для параметров нормально распределённых генеральных совокупностей обычно используются статистики, перечисленные в табл. 4.5.1.

Пример 4.6.2.

Построим доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности при известной дисперсии .

◄Выполняем действия в соответствии с приведённым выше планом построения интервальной оценки.

1. Задаём доверительную вероятность .

2. Из табл. 4.5.1 находим подходящую статистику . Поскольку распределение симметрично, находим квантиль этого распределения.

3. Решаем неравенства

относительно параметра :

. (4.6.5)

Это решение и определяет искомый доверительный интервал.►

Замечание.

Длина полученного доверительного интервала при . Это соответствует здравому смыслу: при увеличении объёма выборки точность интервальной оценки растёт при фиксированной доверительной вероятности (надёжности) этой оценки.

Упражнения

4.6.1. Найдя в табл. 4.5.1 подходящую статистику, убедитесь в том, что доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестной дисперсии определяется неравенствами

, (4.6.6)

где - квантиль порядка распределения Стьюдента с степенями свободы.

4.6.2. Используя свойства квантилей (см. раздел 4.4), а также состоятельность оценки , убедитесь в том, что длина доверительного интервала из (4.6.6) с увеличением объёма выборки сходится по вероятности к нулю.

Пример 4.6.3.

Пусть из генеральной совокупности получены две выборки объёмов и . Обозначим выборочные средние, вычисленные по этим выборкам, и , а исправленные выборочные дисперсии – и соответственно.

Введём соответствующие объединённые оценки: , и покажем, что если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенствами

. (4.6.7)

◄Найдём закон распределения статистики . Поскольку элементы первой случайной выборки независимы и , то в силу композиционной устойчивости нормального распределения можно записать: . Аналогично, для второй случайной выборки: . Поэтому, в силу той же композиционной устойчивости имеем: или