4.6. Интервальные оценки параметров распределения (стр. 5 )

.

Левая и правая части последних неравенств зависят от неизвестного параметра . Заменяем этот параметр его оценкой :

. (4.6.17)

Это и есть искомая приближённая интервальная оценка вероятности успеха при .►

Пример 4.6.8.

Предполагая, что математическое ожидание и дисперсия генеральной совокупности существуют, а закон распределения отличен от нормального, найдём приближённый доверительный интервал для математического ожидания .

◄Несмещённой и состоятельной оценкой параметра является выборочное среднее . Согласно центральной предельной теореме статистика асимптотически нормальна: или, в стандартизованном виде, . Отсюда следует, что для неравенства

и равносильные им неравенства

выполняются с вероятностью, близкой к . Чтобы получить из них искомую интервальную оценку, остаётся заменить в этих неравенствах неизвестный параметр его точечной оценкой , где - исправленная выборочная дисперсия:

. (4.6.18)

Эти неравенства определяют приближённый доверительный интервал при .►

Отметим, что приближённый доверительный интервал (4.6.18) практически не отличается от соответствующего доверительного интервала (4.6.6) для нормальной генеральной совокупности, т. к. при для квантилей выполняется соотношение , см. раздел 4.4.

Упражнения

4.6.9. Пусть генеральная совокупность . Используя композиционную устойчивость и асимптотическую нормальность распределения Пуассона (,), показать, что приближённый доверительный интервал для параметра имеет вид

, .

4.6.10. Покажите, что в случае генеральной совокупности с законом распределения, отличным от нормального, при известном математическом ожидании приближённый доверительный интервал для дисперсии имеет вид

, . (4.6.19)

4.6.11. Покажите, что для генеральной совокупности с произвольным законом распределения приближённая интервальная оценка дисперсии имеет вид

, . (4.6.20)

Замечание.

Отметим, что приближённый доверительный интервал (4.6.18) практически не отличается от соответствующего доверительного интервала (4.6.6) для нормальной генеральной совокупности, т. к. при выполняется соотношение , см. раздел 4.4. То же относится и к приближённым доверительным интервалам (4.6.19), (4.6.20): они практически не отличаются от соответствующих интервалов (4.6.10) и (4.6.11) для нормальной генеральной совокупности, т. к. при , см (4.4.1). Таким образом, приближённые интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности с произвольным законом распределения при объёме выборки можно строить по формулам, найденным для нормальной генеральной совокупности, см. табл. 4.6.1.

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 19.183 - 19.187.

Контрольные вопросы

1. Что называют доверительным интервалом для неизвестного параметра распределения генеральной совокупности?

2. Что такое доверительная вероятность, уровень значимости, каким требованиям они соответствуют?

3. Перечислите действия, которые необходимо выполнить для построения интервальной оценки параметра распределения?

4. Какие статистики используют при построении доверительных интервалов для математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности при известной и неизвестной дисперсии? Запишите неравенства, определяющие эти интервалы.

5. Укажите статистики, применяемые при построении интервальных оценок для дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности при известном и неизвестном математическом ожидании? Запишите неравенства, определяющие эти интервальные оценки.

6. Какие статистики используют при построении доверительных интервалов для отношения дисперсий двух нормально распределённых генеральных совокупностей при известных и неизвестных математических ожиданиях? Запишите неравенства, определяющие эти интервалы.

7. Укажите статистики, применяемые при построении интервальных оценок для разности математических ожиданий двух нормально распределённых генеральных совокупностей при известных и неизвестных, но равных дисперсиях? Запишите неравенства, определяющие эти интервальные оценки.

8. Опишите общий подход к построению приближённых доверительных интервалов для параметров произвольного распределения генеральной совокупности.

9. Постройте приближённый доверительный интервал для неизвестной вероятности успеха в серии испытаний по схеме Бернулли.