4.6. Интервальные оценки параметров распределения (стр. 3 )

.

Приведя последнее соотношение к стандартизованному виду, получаем:

, . (4.6.8)

Найдём теперь закон распределения статистики . Из (4.5.3) следует, что и . Поэтому с учётом композиционной устойчивости распределения , см. раздел 4.4, получаем

или

, . (4.6.9)

Соотношения (4.6.8) и (4.6.9) аналогичны соответственно соотношениям (4.5.4) и (4.5.3), с помощью которых было выведено равенство (4.5.5) (см. упражнение 4.5.1). Точно так же получаем аналогичное равенство

.

Далее, используя статистику , строим доверительный интервал (4.6.7) точно так же, как был построен доверительный интервал (4.6.6), см упражнение 4.6.1. ►

Упражнение

4.6.3. Убедитесь, что если в условиях примера 4.6.3 дисперсия известна, то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенствами

.

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 19.157 - 19.160, 19.165 - 19.168.

Пример 4.6.4.

Построим доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности при известном математическом ожидании .

◄Выполняем действия в соответствии с приведённым выше планом построения доверительного интервала.

1. Задаём доверительную вероятность .

2. Из табл. 4.5.1 находим подходящую статистику . Поскольку распределение несимметрично, находим квантили и этого распределения.

3. Решаем неравенства

относительно параметра :

. (4.6.10)

Последние неравенства определяют искомый доверительный интервал.►

Пример 4.6.5.

Исследуем поведение длины доверительного интервала (4.6.10) при .

◄Длина интервала . С помощью асимптотического представления (4.4.1) квантилей находим: (проделайте выкладки самостоятельно!). Поэтому . Статистика является состоятельной оценкой параметра , т. е. при . Отсюда следует, что при . Таким образом, при достаточно большом объёме выборки интервальная оценка (4.6.10) обеспечивает любую требуемую точность с как угодно большой надёжностью.►

Упражнения

4.6.3. Выбрав подходящую статистику из табл. 4.5.1, убедитесь, что доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании определяется неравенствами

. (4.6.11)

4.6.4. Убедитесь в справедливости соотношения при для длины доверительного интервала (4.6.11).

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 19.171 - 19.173.

Пример 4.6.6.

Построим доверительный интервал для отношения дисперсий двух генеральных совокупностей и при известных математических ожиданиях и .

◄Действуем по плану построения доверительного интервала.

1. Задаём доверительную вероятность .

2. Из табл. 4.5.1 находим подходящую статистику . Поскольку распределение несимметрично, находим квантили и этого распределения.

3. Решаем неравенства

относительно отношения дисперсий :

. (4.6.12)

Неравенства (4.6.12) задают искомый доверительный интервал.►

Упражнения

4.6.5. С помощью подходящей статистики из табл. 4.5.1, убедитесь, что доверительный интервал для отношения дисперсий двух генеральных совокупностей и при неизвестных математических ожиданиях определяется неравенствами

. (4.6.13)

4.6.6. Проверьте соотношение при для длины доверительного интервала (4.6.12) и (4.6.13).

Пример 4.6.6.

Построим доверительный интервал для разности математических ожиданий двух генеральных совокупностей и при известных дисперсиях и .

◄Согласно плану построения доверительного интервала выполним следующие действия.

1. Задаём доверительную вероятность .

2. Из табл. 4.5.1 находим подходящую статистику . Поскольку распределение симметрично, находим квантиль этого распределения.