4.6. Интервальные оценки параметров распределения (стр. 1 )

4.6. Интервальные оценки параметров распределения

При оценивании неизвестных параметров наряду с точечными оценками используются и интервальные оценки. В отличие от точечной оценки интервальная оценка позволяет получить вероятностные характеристики точности и надёжности оценивания неизвестного параметра.

Пусть - случайная выборка из генеральной совокупности с законом распределения, зависящим от параметра , значение которого неизвестно.

Пусть - генеральная совокупность, с законом распределения, зависящим от параметра , значение которого неизвестно.

Доверительным интервалом или интервальной оценкой для параметра называется интервал , содержащий (накрывающий) истинное значение с заданной вероятностью :

. (4.6.1)

Число называется доверительной вероятностью, а значение - уровнем значимости. Практический смысл имеет доверительная вероятность, близкая к 1, поэтому обычно выбирают , как правило, , , и .

Границы доверительного интервала определяют по выборке из генеральной совокупности, поэтому они являются функциями выборки: , . Поскольку выборка есть реализация случайной выборки , то доверительный интервал является интервалом со случайными границами, накрывающим неизвестное значение с вероятностью .

Пример 4.6.1.

Большая партия однотипных конденсаторов, изготовленных на автоматической линии оказалась без маркировки. Для определения их номинальной ёмкости из этой партии случайным образом переложили по некоторому количеству конденсаторов в коробок, каждую из которых отправили в одну из лабораторий для определения номинала . В каждой из лабораторий по «своим» результатам измерений построили «свой» доверительный интервал , см. рис. 4.6.1.

Рис. 4.6.1. К примеру 4.6.1.

Как видно из этого рисунка, доверительный интервал является случайным объектом. Возможны случаи, когда он не накрывает истинного значения . При больших число таких случаев обеспечивает выполнение приближённого равенства .

Один из наиболее распространённых методов построения доверительных интервалов состоит в следующем.

1. Зададим уровень значимости или доверительную вероятность .

2. Найдём статистику , зависящую от неизвестного параметра и удовлетворяющую следующим условиям:

а) закон распределения статистики известен;

б) функция распределения статистики является непрерывной и возрастающей (т. е. не имеет интервалов постоянства);

в) закон распределения статистики не зависит от параметра (такую статистику называют центральной);

г) для любой выборки функция является непрерывной и строго монотонной (убывающей или возрастающей) функцией аргумента .

3. По известному закону распределения статистики найдём два числа и так, чтобы выполнялось равенство

.

Допущение в) гарантирует, что и не зависят от .

Определение и неоднозначно. В самом деле, возьмём произвольные положительные числа и , для которых выполняется равенство и найдём и из уравнений и , в результате чего получим требуемый результат: .