4.6. Интервальные оценки параметров распределения (стр. 4 )

3. Решаем неравенства

относительно разности математических ожиданий :

. (4.6.14)

Доверительный интервал найден.►

Упражнения

4.6.7. С помощью подходящей статистики из табл. 4.5.1, убедитесь, что доверительный интервал для разности математических ожиданий двух генеральных совокупностей и при неизвестных, но равных друг другу дисперсиях имеет вид

, (4.6.15)

где .

4.6.8. Убедитесь в справедливости соотношения при для длины доверительного интервала (4.6.15).

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 19.178 - 19.180, 19.182.

В табл. 4.6.1 объединены результаты, полученные нами при построении доверительных интервалов для основных параметров нормально распределённых генеральных совокупностей.

Таблица 4.6.1

Параметр	Предположения	Доверительный интервал
	известна
	неизвестна
	известно
	неизвестно
	и известны
	, неизвестны
	и известны
	неизвестны

До сих пор мы предполагали, что рассматриваемые генеральные совокупности подчинены нормальному закону распределения. Рассмотрим возможность построения приближённого доверительного интервала для параметра генеральной совокупности с законом распределения, отличным от нормального.

Пусть есть несмещённая оценка параметра распределения генеральной совокупности . Её дисперсия может зависеть от некоторых параметров этого распределения: . Предположим, что статистика имеет асимптотически нормальное распределение, т. е. при . Тогда стандартизованная статистика , . Поэтому при неравенства , где - квантиль стандартного нормального распределения, выполняются с вероятностью, близкой к . Эти неравенства эквивалентны следующим:

.

Записанные неравенства ещё не дают приближённой интервальной оценки для , т. к. их левая и правая части зависят от неизвестных параметров . Заменив эти параметры их точечными оценками , получим искомый приближённый доверительный интервал

. (4.6.16)

Напомним, что изложенный метод является приближённым и может применяться при достаточно большом объёме выборки . В этом методе приближение используется дважды: сначала закон распределения оценки заменяется нормальным законом, затем в выражениях для границ интервальной оценки вместо точных значений параметров используются их оценки . Поэтому интервальные оценки (4.6.16) нужно использовать с осторожностью, возможно, в качестве первого приближения.

Пример 4.6.7.

Пусть - число успехов в серии из испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха . Построим приближённый доверительный интервал для параметра .

◄Несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой вероятности успеха является относительная частота успехов , см. примеры 4.3.5 и 4.3.7. Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа, статистика имеет асимптотически нормальное распределение: , . Поэтому при приближённо можно считать, что . Решив неравенства относительно , получаем: