Считаем тела 1 и 2 материальными точками, нити – нерастяжимыми. Проскальзывания нитей относительно блоков нет.

II. Пусть за малый интервал времени Dt изменение координаты первого тела равно Dx1 (для определенности будем считать, что оно опускается). Поскольку нить нерастяжима, то угол поворота Dj цилиндра радиусом r связан с величиной Dx1 следующим соотношением:

. (1.74)

При этом второй цилиндр радиусом R повернется на тот же угол Dj, а длина нити, на которой лежит блок с подвешенным к нему телом 2, изменится на величину:

. (1.75)

Изменение координаты центра второго блока, а значит и второго тела, равно:

. (1.76)

III. Решая систему уравнений (1.74) – (1.76), получим уравнение, связывающее изменения координат двух тел:

. (1.77)

Поделив левую и правую части (1.77) на малый интервал времени, получим уравнение кинематической связи для скоростей тел:

. (1.78)

Дифференцируя полученное соотношение по времени, получаем искомую связь между ускорениями тел:

. (1.79)

Задача 1.8

(Кинематика простейших механических систем)

На вал радиуса R, закрепленный на оси, намотана веревка, на конце которой висит груз, опускающийся вниз (см. рис. 1.13). Закон движения груза: x = x0 + bt2, где x0 и b – постоянные положительные величины. Определить угловые скорость w и ускорение b произвольной точки обода вала, модуль ускорения a, его нормальную an и тангенциальную at проекции. Записать закон движения этой точки.

Решение

I. Нарисуем чертеж и изобразим на нем направление скорости движения груза. В соответствии с условием задачи направим ось X декартовой системы координат вертикально вниз (рис. 1.13). Для определения ускорения и закона движения произвольной точки A на ободе вала выберем полярную систему координат с полярной осью Y, в которой угол j однозначно определяет положение рассматриваемой точки A. Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, веревку считаем нерастяжимой и что проскальзывания веревки относительно вала нет.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

II. Запишем заданный в задаче закон движения груза в декартовой системе координат:

. (1.80)

Поскольку веревка нерастяжима, уравнение кинематической связи имеет вид:

. (1.81)

Для решения задачи записанные уравнения необходимо дополнить определениями (1.24) и выражениями (1.25) для интересующих нас величин, приведенными в п. 1.1.

III. Найдем законы изменения скорости груза и его ускорения в проекциях на оси декартовой системы координат, используя определения (1.6) и (1.12):

, ; (1.82)

, . (1.83)

Точки обода вала совершают неравномерное движение по окружности, причем модуль их скорости (поскольку нить нерастяжима и не проскальзывает по поверхности обода) в каждый момент времени равен модулю скорости груза, поэтому, используя (1.22) для угловой скорости w и углового ускорения b, получаем:

, (1.84)

. (1.85)

Поскольку проекция ускорения груза на ось X равна тангенциальной проекции ускорения точек обода, то:

. (1.86)

Нормальную проекцию ускорения определим, используя (1.22):

. (1.87)

Модуль полного ускорения произвольной точки A на ободе колеса найдем из соотношения (1.20):

. (1.88)

Закон движения произвольной точки A на ободе вала запишем в полярной системе координат:

, (1.89)

где j0 – начальное значение угловой координаты точки A в выбранной полярной системе координат.

Задача 1.9

(На кинематику материальной точки)

Закон движения движущейся в плоскости материальной точки, заданный в полярной системе координат, имеет следующий вид: r = r(t), φ = φ(t). Определить законы изменения проекций скорости и ускорения материальной точки на направления, задаваемые ортами декартовой и полярной систем координат, жестко связанных с телом отсчета. Начало декартовой системы координат совпадает с полюсом полярной системы, а ось X декартовой системы направлена вдоль полярной оси (см. рис. 1.14).

Решение

I. Выберем ось Y декартовой системы координат так, чтобы плоскость XY совпадала с плоскостью, в которой движется материальная точка M (рис. 1.14). Для решения задачи используем две системы координат – декартову систему координат XOY c ортами и , и полярную, орты которой и изображены на рис. 1.14. Заметим, что при движении материальной точки происходит изменение ориентации ортов полярной системы и , в то время как орты декартовой системы координат и не изменяют своего направления.

II, III. Закон движения материальной точки, заданный в полярной системе, запишем в декартовой системе координат XOY:

(1.90)

Дифференцируя закон движения (1.90) по времени, получаем искомые законы изменения проекций скорости материальной точки и ее ускорения в декартовой системе координат:

(1.91)

(1.92)

В формулах (1.92), (1.92) и далее для краткости опустим запись зависимости кинематических величин от времени.

Проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат находим двумя способами.

1 способ. Скорость и ускорение материальной точки в полярной системе координат записываются в виде:

, (1.93)

. (1.94)

Следовательно, проекции скорости и ускорения материальной точки на направления, задаваемые ортами рассматриваемых систем координат, связаны соотношениями:

(1.95)

(1.96)

Сравнивая соотношения (1.90) и (1.95), а также (1.91) и (1.96), получим искомые проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат:

(1.97)

(1.98)

2 способ. Запишем радиус-вектор материальной точки в полярной системе координат:

. (1.99)

Поскольку при движении материальной точки происходит изменение ориентации ортов полярной системы и , найдем скорость их изменения (см. рис. 1.15):

(1.100)

 

Теперь для нахождения скорости и ускорения точки в той же системе координат необходимо продифференцировать радиус-вектор (1.99) по времени с учетом (1.100):

, (1.101)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7