Тема 1: Определители (стр. 17 )

Решение:
Так как  то

5. Образом вектора  при линейном преобразовании, заданном матрицей  является вектор …

Решение:
Так как образ  вектора  определяется по формуле  то

6. Дано линейное преобразование векторов на плоскости Oxy, которое каждый вектор переводит в вектор той же длины, но противоположно направленный исходному. Тогда матрица A этого преобразования имеет вид …

–1

Решение:
Так как  и  то матрица такого линейного преобразования имеет вид

7. Дано линейное преобразование векторов на плоскости Oxy, которое каждый вектор поворачивает на угол 900 по часовой стрелке по отношению к исходному. Тогда матрица A этого преобразования имеет вид …

–1

Решение:
Так как  и  то матрица такого линейного преобразования имеет вид

8. Дано линейное преобразование векторов на плоскости Oxy, которое каждый вектор поворачивает на угол 2700 по часовой стрелке по отношению к исходному и длина которого в 4 раза больше исходного. Тогда матрица A этого преобразования имеет вид …

4

Тема 22: Линейные операторы

1. Пусть  – базис пространства  Операторы f и g этого пространства заданы матрицами   Тогда матрица оператора  равна …

Решение:

2. Пусть  – базис пространства  Операторы f и g этого пространства заданы матрицами   Тогда матрица оператора  равна …

Решение:

3. Линейный оператор  отображает базис  в векторы
   Тогда матрица оператора f в этом базисе имеет вид …

Решение:

4. Пусть  – базис пространства  Операторы f и g этого пространства заданы матрицами   Тогда матрица оператора  равна …

Решение:

5. Из заданных операторов пространства  – пространства двумерных векторов, линейным является оператор …

Решение:
Линейным называется отображение  удовлетворяющее условиям


Проверим на линейность оператор


Следовательно  – первое условие не выполнено, а значит,  не является линейным оператором.
Для оператора  проверим выполнение второго условия:

Условие не выполняется, значит,  не линейный оператор.
Проверим выполнение второго условия для оператора

Следовательно, данный оператор не является линейным.
Проверим выполнение условий линейности для оператора


Следовательно   – первое условие выполнено;
 – второе условие выполнено, поэтому  является линейным оператором.