Уравнения в частных производных (стр. 4 )

  8.3.  Разностный метод для уравнения теплопроводности

Рассмотрим краевую задачу линейной теплопроводности в однородной среде:

(8.45)

(8.46)

(8.47)

Краевые условия (8.47) называются условиями первого рода и означают, что на концах отрезка [0, a] задана зависимость температуры u от времени t.

Краевые условия второго рода

(8.48)

означают, что на концах отрезка [0, a] заданы тепловые потоки.

Если на границах имеется линейный теплообмен с окружающей средой, то задаются краевые условия третьего рода

(8.49)

8.3.1.  Одномерное уравнение. Неявная схема

Введем сеточную область:

Построим для задачи (8.45) — (8.47) неявную схему с шаблоном, который изображен на рис. 8.4:

(8.50)

Если σ = 0, то (8.50) представляет явную схему:

(8.51)

Порядок аппроксимации схемы (8.50) при σ ≠ ½ равен O(τ + h2).

При σ = ½ схема (8.50) называется схемой с полусуммой или симметричной и имеет порядок сходимости O(τ2 + h2) (доказательство можно найти в [9]).

Рис. 8.4

Из краевых условий (8.47) находим

(8.52)

Преобразуем разностную схему (8.50), (8.52) к виду

(8.53)

Для простоты записи в (8.53) введено обозначение:

(8.54)

Разностная схема (8.53) решается методом прогонки.

Положим σ = ½. Тогда (8.53), (8.54) переписываются в следующем виде:

(8.55)

(8.54)

Построим алгоритм решения задачи (8.45) — (8.47) с помощью неявной схемы (8.50) при σ = ½.

1. Из начального условия (8.46) находим значения неизвестной функции на нулевом слое:

(8.56)

2. Значения функции на следующих слоях находим методом прогонки. Для k = 0, 1, …, M – 1 выполняем следующие вычисления:

2.1. Вычисляем правые части (8.55) по формулам:

(8.57)

(8.58)

2.2. Вычисляем коэффициенты прогонки:

(8.59)

(8.60)

(8.61)

2.3. Вычислим решение ui,j+1:

(8.62)

(8.63)

Пример 8.3.

8.3.2.  Двумерное уравнение. Неявная схема

Рассмотрим первую краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом в прямоугольной области:

(8.65)

(8.66)

(8.67)

Введем сеточную область

Обобщим неявную разностную схему (8.50) на двумерный случай

(8.68)

Шаблон схемы (8.68) изображен на рис. 8.5. Запишем для сеточной функции условия, вытекающие из (8.66), (8.67). Из (8.66) получим значения на нулевом слое:

(8.69)

Краевые условия (8.67) записываются в виде:

(8.70)

Рис. 8.5

Разностная схема (8.68) — (8.70) имеет порядок аппроксимации при σ ≠ ½, и при σ = ½. Схема устойчива при

. (8.71)

Очевидно, при σ ≥ ½ схема абсолютно устойчива.

Для решения системы (8.68) — (8.70) можно применить метод Гаусса на каждом слое k = 1, 2, …, M.

8.3.3.  Двумерное уравнение. Экономичные схемы

На решение системы (8.68) — (8.70) методом Гаусса потребуется порядка N3p операций [9], где p — размерность задачи, а N — число интервалов по каждой пространственной переменной.

В двумерном случае имеем N6 операций, а в случае трехмерной задачи число операций составит порядка N9.

Для многомерного параболического уравнения построены так называемые экономичные схемы, которые требуют для вычисления значений функции на одном слое порядка N2 операций в двумерном случае и N3 операций в трехмерном случае и являются абсолютно устойчивыми. Большинство расчетов для многомерного параболического уравнения проводится по таким схемам.

Рассмотрим одну из таких схем, схему переменных направлений (продольно-поперечную схему). Выберем шаблон, представленный на рис. 8.6, содержащий промежуточный слой , и построим следующую схему:

(8.72)

(8.73)

Порядок аппроксимации схемы (8.72), (8.73) на целых слоях равен [9], а на полуслоях составляет .

Рис. 8.6

Начальные условия (8.66) дают значения сеточной фукции на нулевом слое:

(8.74)

Значения на промежуточном слое определяются методом прогонки из системы уравнений

(8.75)

Значения сеточной функции при находим из граничных условий (8.67) Однако здесь мы не будем использовать очевидные формулы , так как они имеют порядок аппроксимации . Мы воспользуемся формулами, полученными следующим способом. Вычтем (8.73) из (8.72):

(8.76)

Отсюда при i = 0, учитывая (8.67), получим

(8.77)

Аналогично при i = Nx получим

(8.78)

Эти формулы имеют порядок .

Значения сеточной функции на следующем слое определяются методом прогонки из системы уравнений

(8.79)

(8.80)