Уравнения в частных производных (стр. 1 )

  8.1.  Уравнения в частных производных

Уравнение

,

связывающее неизвестную функцию, независимые переменные и частные производные неизвестной функции, называется уравнением в частных производных. Порядок n старшей производной называется порядком дифференциального уравнения.

Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её частных производных.

Приведем основные уравнения математической физики [10], которые являются линейными уравнениями в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение (уравнение колебаний)

(8.1)

описывает различные виды волн — звуковые, упругие, электромагнитные и другие колебательные процессы. Функция зависит от пространственных переменных x, y, z и времени t.

2. Процесс распространения тепла в однородном изотропном теле описывается уравнением теплопроводности:

(8.2)

Уравнение теплопроводности в общем виде записывается так:

(8.3)

Здесь — температура в точке (x, y, z) в момент времени t, — теплоёмкость в точке (x, y, z) в момент времени t, — коэффициент теплопроводности в точке (x, y, z) в момент времени t, — плотность источников тепла.

3. Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле описывается уравнением Пуассона

(8.4)

Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле при отсутствии источников тепла внутри тела описывается уравнением Лапласа

(8.5)

В уравнениях (8.4) и (8.5) функция зависит только от пространственных переменных x, y, z.

Согласно классификации уравнений второго порядка уравнение (8.1) относится к гиперболическому типу, уравнение (8.2) — к параболическому типу, а уравнения (8.4), (8.5) — к эллиптическому типу.

В конкретной постановке задачи математической физики необходимо найти решение одного из уравнений (8.1) — (8.5), удовлетворяющее дополнительным (начальным и граничным) условиям.

Начальные условия задаются с уравнениями (8.1) — (8.3) и обычно имеют вид

, (8.6)

. (8.7)

При этом для уравнения (8.1) искомое решение должно удовлетворять в начальный момент времени t0 обоим условиям (8.6) и (8.7), а для уравнения (8.2) или (8.3) — одному из условий (8.6), (8.7).

Граничные условия для уравнений (8.1) — (8.3): искомое решение должно удовлетворять на границе тела (или среды) одному из условий

, (8.8)

, (8.9)

где — производная по нормали к границе тела.

Для уравнений Пуассона или Лапласа задаются только граничные условия

(8.10)

или

. (8.11)

Задача для уравнения Лапласа (8.5) с граничным условием (8.10) называется задачей Дирихле, а с условием (8.11) — задачей Неймана.

Область, описывающая тело, может быть задана в трехмерном, двухмерном или одномерном пространствах. В первом случае функция зависит от трех пространственных переменных и времени t, во втором — от двух пространственных переменных и времени t: , а в третьем случае — от переменных x и t: .

  8.2.  Разностный метод для уравнения колебаний

8.2.1.  Уравнение колебаний струны. Явная схема

Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (см. рис. 8.1):

(8.11)

(8.12)

(8.13)

Рис.8.1.

Струна совершает плоские колебания, т. е. точки струны перемещаются параллельно плоскости t = 0.

Функция u(x, t) выражает смещение точки x струны в момент времени t от прямолинейной формы.

Начальные условия (8.12) означают следующее. Форма струны в начальный момент времени t = 0 выражается функцией μ(x). Скорость перемещения точки x струны в момент времени t = 0 равна значению функции μ0(x).

Краевые условия (8.13) говорят о том, что левый конец струны с течением времени совершает смещение μ1(t), а правый конец — смещение μ2(t).

Если концы струны закреплены, то μ1(t) = μ2(t) = 0.

Мы предполагаем, что начальные условия (8.12) и краевые условия (8.13) должны быть согласованы между собой в угловых точках, т. е. выполнены условия .

На рис. 8.1 представлен случай, когда , .

Введем сеточную область (рис.8.2, a)). В прямоугольной области зададим точки:

(8.14)

Рассмотрим уравнение (8.11) в точках , , , и заменим производные разностными формулами

, (8.15)

. (8.16)

Обозначим через приближенные значения искомой функции в точках . Тогда из уравнения (8.11) получим разностное уравнение, которое аппроксимирует уравнение (8.11) с порядком O(h2 + τ2):

(8.17)

Рис. 8.2

На рис. 8.2 b) изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.17). Разностное уравнение (8.17) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1).

На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из которых следует, что

.

Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной ut(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора

. (8.18)

Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную

. (8.19)