Уравнения в частных производных (стр. 5 )

Построим теперь алгоритм решения задачи (8.65) — (8.67) с помощью схемы переменных направлений, который реализует метод прогонки по каждой переменной и приводит детально все этапы вычислений, учитывая начальные и краевые условия.

0. При k = 0

(8.81)

1. Для каждого значения k = 1, 2, …, M выполняем следующие два этапа вычислений:

I –й этап. Выполняем для следующие 3 шага:

1-й шаг. Вычисляем для :

(8.82)

(8.83)

(8.84)

2- шаг. Вычисляем прогоночные коэффициенты:

(8.85)

(8.86)

(8.87)

(8.88)

(8.89)

(8.90)

3-й шаг. Вычислим решение :

(8.91)

(8.92)

II-й этап. Выполняем для следующие 3 шага:

1-й шаг. Вычисляем для :

Если , то вычисляем по следующим двум формулам:

(8.93)

(8.94)

Если , то вычисляем по следующей формуле:

(8.95)

Если , то вычисляем по следующим двум формулам:

(8.96)

(8.97)

2- шаг. Вычисляем прогоночные коэффициенты:

(8.98)

(8.99)

(8.100)

3-й шаг. Вычислим решение :

(8.101)

(8.102)

Пример 8.4

  8.4.  Разностный метод для эллиптического уравнения.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольной области

(8.103)

(8.104)

Введем сеточную область

Рассмотрим уравнение (8.103) в узлах сетки и заменим производные разностными формулами. Тогда с учетом краевых условий получим систему уравнений для определения приближенного решения задачи (8.103), (8.104):

(8.105)

(8.106)

В следующих параграфах рассмотрены наиболее часто используемые методы решения системы (8.105), (8.106).

8.4.1.  Решение разностной краевой задачи
для уравнения Пуассона методом Гаусса

Система (8.105), (8.106) содержит неизвестных значений и столько же уравнений. Матрица этой системы имеет блочно-трехдиагональную структуру. Перепишем систему (8.105), (8.106) в виде системы векторных уравнений

(8.107)

Каждое векторное уравнение в (8.107) содержит линейных уравнений, A и С — матрицы размерности , Uj, Fj — векторы-столбцы с числом элементов :

(8.108)

(8.109)

(8.110)

(8.111)

. (8.112)

Система уравнений (8.107) может решаться следующим методом матричной прогонки:

1. Вычисляем векторы Fj по формулам (8.110) — (8.112).

2. Вычислим матрицы A и С по формулам (8.108).

3. Вычисляем прогоночные коэффициенты-матрицы , :

(8.113)

4. Вычисляем решение системы:

(8.114)

Метод матричной прогонки легко реализуется в виде программы для компьютера. Необходимость вычисления на каждом шаге в (8.113) обратной матрицы можно считать недостатком метода, так как обращение матрицы требует выполнения большого числа операций.

Этого недостатка можно избежать, применяя метод исключений Гаусса с учетом разреженности матриц A и С в системе (8.107).

Приведем общее описание алгоритма метода Гаусса:

1. Прямой ход. С помощью обычных исключений Гаусса, преобразуем первое векторное уравнение системы (8.107) к виду , где C1 — верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.

С помощью соответствующих уравнений из векторного уравнения , исключаем слагаемое из второго векторного уравнения . Затем, полученное второе векторное уравнение преобразуется к виду , C2 — верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.

Продолжая этот процесс, приводим систему (8.107) к виду

(8.115)

где Cj — верхние треугольные матрицы с единицами на главной диагонали.

2. Обратный ход. Из последнего векторного уравнения в системе (8.115) находим вектор , а затем последовательно вычисляем для с помощью первого уравнения в (8.115).

8.4.2.  Решение разностной краевой задачи
для уравнения Пуассона методом переменных направлений

Задача (8.103), (8.104) является стационарной задачей, её решение не зависит от времени.

Рассмотрим эволюционную задачу для параболического уравнения с такими же краевыми условиями (8.104) и произвольно заданными начальными условиями.

(8.116)

(8.117)