Математика, 10 класс
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Напомним основные определения и формулы.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел а1, а2, ..., аn, ... , для которой имеют место соотношения:
а1 – заданное число, первый член прогрессии;
аn=an-1+d – n-й член прогрессии (n³2), задается рекуррентной формулой;
d – заданное число, разность прогрессии.
Имеют место формулы:
1) an=a1+d(n-1) – формула n-го члена (n³2);
2) ; Sn – сумма первых n членов прогрессии;
3) 
; в частности;
4) 
.
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность чисел b1, b2, ..., bn, ... , для которой имеют место соотношения:
b1 – заданное число, первый член прогрессии;
bn=bn-1q – n-й член прогрессии (n³2), задается рекуррентной формулой;
q – заданное число (q¹1), знаменатель прогрессии.
Если ½q½<1, то прогрессия называется бесконечно убывающей.
Имеют место формулы:
5) 
– формула n-го члена (n³2);
6) 
– формула суммы n первых членов;
7) 
– формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
8) 
, в частности;
9) 
;
10) 
;
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Доказать, что последовательность 
с общим членом 
является арифметической прогрессией.
Решение. Воспользуемся формулой (4): 
, n³2. Эта формула выражает необходимое и достаточное условие того, что последовательность является арифметической прогрессией.
Найдем 
; 
;
.
Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.
Пример 2. Найти a1 и d, если a11=6; a16=8,5.
Решение:
Имеем:
Ответ: а1=1; d=0,5.
Пример 3. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.
Решение. Наименьшее трехзначное число, делящееся на 7 без остатка, есть 105, а наибольшее число – 994.
Пусть n – количество всех трехзначных чисел, белящихся без остатка на 7. Тогда a1=105; an=994; d=7 и 994=105+7(n-1) Þ n=(994–98):7=128.
Ответ: n=128.
Пример 4. Велосипедист, едущий в гору, в первый час достиг высоты 200 м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 20 м меньше, чем в предыдущий. За сколько времени он достиг высоты 900 м?
Решение: Пусть n – количество часов его подъема. Выпишем последовательность высот, на которое он поднимался за каждый час: 200; 180; 160; ... . Получили арифметическую прогрессию, в которой a1=200; d=–20; Sn=900.
но 
.
Решая это уравнение, получим n1=6; n2=15.
Решение n2=15 является посторонним, так как 
, что не может быть по смыслу задачи.
Ответ: за 6 часов велосипедист достиг высоты 900 м.
Пример 5. Может ли число 75 быть членом геометрической прогрессии 
, у которой b1=4 и q= ?
Решение: Если bn=75 есть n-й член геометрической прогрессии, то должно выполняться соотношение:
, где n – натуральное число. То есть 
. Решим это уравнение.
– не является натуральным числом.
Ответ: число 75 не может быть членом заданной геометрической прогрессии.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. Левая часть уравнения – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия , у которой b1=x2; q=– x, если ½q½<1 (то есть½x½<1).
Поэтому можно записать уравнение в виде:
;
Так как ½x1½<1 и ½x2½<1, то оба корня удовлетворяют условию задачи.
Ответ:
Пример 7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия станет геометрической. Найти эти числа.
Решение. Пусть данные числа a, b, c.
1) геометрическая прогрессия: a, b, c.
2) Арифметическая прогрессия: a, b+2, c.
3) Геометрическая прогрессия: a, b+2, c+9.
Имеем: 
Решаем второе уравнение. Имеем после преобразований 
Û
Û 
.
Подставляя эти значение в систему уравнений, получим:
или 
Ответ: (4; 8; 16) или 
.
Контрольное задание
Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
I. Пусть – арифметическая прогрессия с разностью d и Sn – сумма n первых членов. Найти:
М8.10.1. a13, если a5=2; a40=142.
М8.10.2. a1+a20, если a3+a18=50.
М8.10.3. n, если a1=3; a2=5; Sn=360.
М8.10.4. a1 и d, если a17+a20=35; a16×a21=150.
М8.10.5. a1 и d, если Sn=2n2-3n.
М8.10.6. Сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3.
М8.10.7. Первых 100 натуральных чисел, каждое из которых при делении на 5 дает в остатке 2.
II. Пусть – геометрическая прогрессия со знаменателем q и Sn – суммой первых n членов. Найти:
М8.10.8. b6, если b5=36, b7=114.
М8.10.9. q, если b1=10, b2+b3=60.
М8.10.10. b13, если b11=25, b15=400.
М8.10.11. b1 и q, если b1+b2+b3=62, b12+b22+b32=2604.
М8.10.12. S6, если b1=–2, b6=–486.
М8.10.13. n, если b1=9, bn= , Sn=25
.
М8.10.14. Какому условию удовлетворяют три числа a1, a2, a3, которые одновременно являются последовательными членами как геометрической, так и арифметической прогрессий?
М8.10.15. Решить уравнение: 
.
М8.10.16. По преданию, индийский шах позволил изобретателю шахматной игры самому назначить себе награду. Изобретатель просил, чтобы ему за первую клетку шахматной доски было дано 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4. В общем случае, за каждую следующую клетку в 2 раза больше, чем за предыдущую. Узнать, сколькими цифрами изображается число зерен, предназначенное изобретателю; найти это число.
