, (5*)

Для облегчения запоминания эту формулу часто записывают в виде

, (5**)

где и

с1 и с2 называют первой и второй радиационными постоянными.

§ 6. Формула Вина

При сравнительно низких температурах или малых длинах волн, когда hс/к = с2 >>Т, единицей в (5**) можно пренебречь по сравнению с экспонентой. Тогда формула Планка приобретает упро­шенные вид (см. пунктирные кривые на рис.3)

(6)

Это соотношение было получено Вином на основе волновой теории еще до появления формулы Планка и носит название приближения Вина. Погрешность этого приближения не превышает 1%, если

§ 7. Закон Стефана-Больцмана

Этот закон выражает связь между энергетической светимостью АЧТ и его абсолютной температурой. Впервые это соотношение было получено Стефаном (1879г.) из анализа экспериментальных данных и ошибочно им приписано для любых тел. Больцман (1884г) исходя из термодинамических соображений, получил его теоретически. Зная функцию распределения спектральной плотности АЧТ (5), этот закон легко получить по формуле (1):

,

вычислив этот интеграл * , получаем

, (7)

где σ – постоянная Больцмана, равная 5,7*10-3 Вт/(м2К4).

Таким образом, энергетическая светимость АЧТ пропорциональ­на четвертой степени абсолютной температуры.

§ 8. Закон смещения Вина

Этот закон устанавливает зависимость между длиной волны λм на которую приходится максимум функции и температурой. Для нахождения λм продифференцируем (5**) по λ и прирав­няем производную нулю:

Удовлетворяющие этому уравнению значения и соответствуют минимумам функции - см. рис.3. . Значение λм, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в фигурных скобках. Обозначив и решив трансцендентное уравнение

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

получим х=4,965, откуда

(закон смещения Вина),

где

§ 9. Вынужденное излучение. Вывод формулы Планка но Эйнштейну.

Для более глубокого понимания закономерностей теплового излучения рассмотрим газ, состоящий из одинаковых атомов, ко­торые обмениваются энергией между собой и электромагнитным по­лем, обусловленным тепловым излучением. Каждый из атомов может находиться в стационарных состояниях с дискретными значениями энергии. Среднее число атомов Ni в единице объема, находя­щихся в i-oм состоянии и обладающих энергией Ei, называют заселенностью i-го уровня. /Ni ] = 1/м3.

Если газ находится в состоянии термодинамического равнове­сия при температуре Т, то заселенности двух уровней i u j связаны соотношением Больцмана:

, (8)

где к - постоянная Больцмана, а g - статистический вес или кратность состояния, то есть число различных состояний с данным значением энергии.

Пусть атом по тем или иным причинам оказался в возбужденном состоянии m с энергией Ем. Если его полностью изолировать от каких бы то ни было внешних воздействий, он тем не менее дос­таточно быстро перейдет в одно из состояний n, обладающее мень­шей энергией Еn. При этом будет испущен фотон с частотой, опре­деляемой формулой

, (9)

Такой процесс, происходящий без внешнего воздействия, называется самопроизвольным или спонтанным излучением, а соответ­ствующие квантовые переходы - спонтанными переходами. Благодаря возможности спонтанного испускания фотонов атом находится в возбужденном состоянии лишь конечное время, а затем скачкообразно переходит на Солее низкий энергетический уровень. Типичное время жизни возбужденных атомов - составляет по порядку величины 10-8 с. Предположим, что процессы возбуждения обеспечивают неизменную во времени заселенность возбужденных состояний. Это означает, что на смену атомам, испытавшим спонтанные переходы, возбужда­ются новые и газ в целом создает излучение с некоторой постоянной средней мощностью.

Число переходов m-n (в единице объема в 1 секунду), происходящих между уровнями n и m в результате спонтанного испускания фотонов, пропорционально заселенности Nm верхнего уровня m :

(10)

Коэффициент Аmn имеющий размерность 1/с, называется коэффи­циентом Эйнштейна для спонтанного испускания. Величина этого ко­эффициента полностью определяется внутренней структурой атома. Из соотношения (10) видно, что Amn есть вероятность спонтан­ного перехода m-n в единицу времени.

Рассмотрим теперь процесс, противоположный испусканию, - поглощение фотона, при котором атом переходит из более низкого

энергетического состояния n в более высокое энергетическое состояние m. Частота поглощенного фотона будет определяться той же формулой (9), что и при испускании. А число переходов в единице объема в 1 с будет пропорционально не только заселен­ности исходного состояния Nn, но и спектральной плотности поглощаемого излучения Uω (см. § 3):

(11)

Коэффициент пропорциональности Вnm в этой формуле называется коэффициентом Эйнштейна для поглощения. Этот коэффициент, как и Аnm является характеристикой данного перехода, зависящей толь­ко от свойств атома, но не от внешних условий. Произведение , имеющее размерность 1/с, играет роль, аналогичную Аnm для спонтанного испускания, и таким образом определяет вероят­ность поглощения (перехода n в m ) в единицу времени.

Кроме спонтанного испускания и поглощения, Эйнштейн ввел представление еще об одном радиационном процессе - индуцирован­ном (вынужденном) испускании. В отличие от спонтанного оно состо­ит в испускании фотона под действием внешнего электромагнитного поля. Именно в силу этого действия атом, находящийся в более вы­соком энергетическом состоянии ( Е m ),переходит в состояние с меньшей энергией ( Еn), при этом излучается фотон с частотой, определяемой выражением (9).

Число переходов в единице объема за единицу времени записывается аналогично (11):

, (12)

Величина Bnm называется коэффициентом Эйнштейна для вынужден­ного излучения. Если электромагнитное поле отсутствует (Uω =0), то вынужденные переходы не происходят.

Схематически процессы испускания и поглощения света пред­ставлены на рис.4.

рис.4.Схема возможных механизмов поглощения

и испускания света атомов

Исходя из изложенных выше представлений о квантовых пере­ходах, получим выражение для спектральной объемной плотности энергии равновесного излучения. Для этого рассмотрим атомарный газ в изотермических условиях ( Т = const). В этом же объеме присутствует и электромагнитное поле, обусловленное излучением атомов. Рассматриваемая система "газ - тепловое излучение" нахо­дится в состоянии термодинамического равновесия (так как темпе­ратура постоянная). Это не означает, что энергия каждого атома газа сохраняется неизменной. Между атомами и полем осуществля­ется постоянный обмен энергией. Атомы излучают и поглощают фотоны, переходя из одних состояний в другие. Между атомами газа проис­ходит также обмен энергией при их столкновениях между собой.

Однако ни один из этих процессов не нарушает термодинамического равновесия системы в целом и соответствующих ему законов распре­деления атомов по энергиям, равно как и распределения энергии излучения по спектру.

Наличие равновесия означает, что в единицу времени число переходов при поглощении атомами излучения должно рав­няться числу обратных переходов в результате как вынуж­денного, так и спонтанного излучений:

, (13)

Выполнение этого условия обеспечивает неизменность и спектраль­ной плотности излучения и среднего числа атомов в состояниях m и n.

Подставляя в него (10), (11), (12), получаем:

(14)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11