I Часть. Общие положения теории к лабораторном работам по атомной физике (стр. 4 )

Для построения боровской теории водородного атома необходимо также привлечь постулат Планка о дискретности состояний гармони­ческого осциллятора, энергия которого равна

( n – целое число).

Из этого постулата вытекает правило квантования круговых орбит: из всех орбит электрона, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются только те, для которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка :

(24)

§ 3. Атом водорода.

Согласно (24) момент импульса электрона, вращающегося со скоростью V, но орбите радиуса r вокруг ядра (), должен удовлетворять условию

Запишем также уравнение движения электрона, находящегося под действием кулоновской силы (в системе СГСЕ), вокруг ядра:

Исключив v из этих двух уравнений, получим выражение для радиусов допустимых орбит

(n – целое число)

Радиус первой орбиты электрона в атоме водорода r1 носит название боровского радиуса:

Для скорости электрона получается выражение

И, наконец, для полной энергии электрона, включающей как кине­тическую часть (mev2/2), так и потенциальную (- e2/r), можно получить следующую формулу:

(25)

Излучение или поглощение энергии атомом водорода по Бору проис­ходит при переходе электрона с одной орбиты на другую. Энергия излучаемого или поглощаемого при этом фотона рассчитывается с помощью второго постулата Бора (см.§2)

отсюда для волнового вектора имеем:

Таким образом, 2-ой постулат Бора перешел в обобщенную формулу Бальмера (20) с постоянной Ридбергера, равной

,

численное значение которой согласуется с ее экспериментальным значением (см. гл. 3, §1).

. § 4. Молекулы

а) Уравнение Шредингера для электронов в молекуле. Электронная энергия. Как известно, молекула состоит из ядер и связыва­ющих их электронов. Поскольку ядра имеют массу, в несколько тысяч раз превышающую массу электрона, они движутся гораздо медленнее электронов. Поэтому движение последних в квантовой механике рассматривают в первом приближении как движение в поле неподвижных ядер. Тогда расстояния между ядрами рассматриваются параметры задачи. Решение соответствующего уравнения Шредингера показывает, что энергия электронов Е е квантуется, а ее собствен­ные значения зависят от расстояния между ядрами. Для случая двух­атомной молекулы эта зависимость для двух устойчивых состояний молекулы I и П имеет вид, показанный на рис.12б. В обоих случаях энергия имеет минимум при определенных значениях расстояния между ядрами X. Переход из одного устойчивого состояния в другое на­зывают изменением электромагнитной конфигурации. Это приводит, как видно из рис.12б, к изменению кривой зависимости Ее(х)

б) Полная энергия. При заданной электронной конфигурации ядра молекулы могут различным образом колебаться около своих рав­новесных положений, а сама молекула вращаться относительно центра масс. С этими видами движений тоже связаны запасы энергии: колебательной Ev и вращательной Er. В первом приближении движение электронов, колебания ядер и вращение молекулы считают независимыми. Тогда полную энергию молекула можно записать в виде следующей суммы:

Е=Ее+Еv+Еr (57)

в) Колебательная энергия. При небольших отклонениях от положения равновесия (область вблизи R0 – рис12б) силы, возвращающие атомы обратно в положение равновесия, являются "квазиупругими", то есть подчиняются с достаточно высокой степенью точности закону Гука: F=-kx. Это видно из рис.12,: график в области вблизи Ro имеет вид параболы E=kx2/2(смотри рис.12а),откуда

Частица, коле6лющаяся под действием квазиупругой силы, на­зывается гармоническим осциллятором. По законам квантовой меха­ники возможные значения ее энергии дискретны, и их величины мож­но найти из решения соответствующего уравнения Шредингера. Эти значения (собственные значения) таковы:

, (58)

где v=0,1,2,3,…-колебательное квантовое число; - постоянная Планка; ω - циклическая частота колебаний классического гармонического осциллятора .Из формулы (58) следует, что расстояние между соседними уровнями энергии одинаковы. Еще раз подчеркнем, что это справедливо лишь для гармонического осциллятора, когда силы квазиупругие, а энергия осциллятора при смещении из положения равновесия Х равна кх2/2 (см. рис.12а). В реальных же молекулах подобный параболический ход потенциальной энергии наблюдается лишь при малых смещениях из положения равновесия (для небольших квантовых чисел V ). При больших смешениях эта зависимость имеет более сложный харак­тер (рис. I2б), и колебания уже не будут гармоническими. Если учесть отклонения от гармоничности, то решение уравнения Шредингера дает следующие значения для уровней энергии:

где - так называемые коэффициенты ангармоничности. Из этой формулы видно, что для реальных молекул расстояния между колебательными уровнями энергии ухе не одинаковы с увеличением квантового числа V уровни сгущаются и стремятся к некоторому предельному значению. Если энергия колебаний превышает этот пре­дел, то молекула диссоциирует - распадается на составные части.

 

Рис.12. Потенциальные кривые и уровни энергии двухатомной молекулы:

а)в приближении гармонического осциллятора (расстояние между уровнями одинаковое);

б)для реальной молекулы с невозбужденным (I) и возбужденным (II) электронными состояниями (уровни сгущаются при приближении у энергии диссоциации)

Отметим, что даже при V =0 энергия колебаний не обращается в ноль, а принимает конечное значение, называемое нулевой энергией, то есть колебания молекул никогда не прекращаются.

Таким образом, расстояния между колебательными уровнями энергии и связанные с ними частоты колебаний молекулы определяются закoнoмepнocтями потенциальной энергии взаимодействия атомов в молекуле. Эта энергия, в свою очередь, зависит от состояния атомных электронов, Если при поглощении фотонов электроны в молекуле переводятся в возбужденное состояние, то это приводит к изменению сил взаимодействия атомов.(см. изменение хода кривой Е(х) на рис.12б. F= - dE/dx) и, следовательно, к изменению системы колебательных уровней энергии и частот коле­баний.

г) вращательная энергия. Если, молекула имеет момент инерции I к вращается с угловой скоростью ωr то энергия вра­щения (Er) равна:

,

где - момент импульса молекулы. Согласно законам квантовой механики последний может принимать дискретные значения:

(j=0,1,2,…),

j – квантовое число момента импульса, которое в данном случае называют вращательным квантовым числом. Следовательно,

(59)

Для вращательного квантового числа имеется правило отбора:

которое и определяет испускание (или поглощение) молекулой квантов света, связанное с вращательными переходами.

С учетом формул (58), (59) полную энергию молекулы (57) можно записать в следующем виде:

(60)

д) Спектры изолированных молекул. Спектры поглощения молекул отличаются от спектров атомов прежде всего большей сложностью. Это объясняется тем, что изменение внутренней энергии атомов связано лишь с изменением энергии отдельных электронов, в то время как изменение энергии молекул складывается из изменения энергии трех ее составляющих (см.(60)). - энергии электронов, энергии колебаний атомов внутри молекулы и энергии вращения молекулы как целого.

Согласно правилам квантовой механики все три вида энер­гия молекулы квантуются, то есть могут принимать лишь опреде­ленные дискретные значения (уровни энергии). Получающаяся сложная система уровней всей молекулы схематически показана на рис. 13 (масштаб по шкале энергий не соблюден).