Дифференциальные уравнения (стр. 2 )

Теорема множество решений однородного ур-я (2) образуют линейные пространства

Д-во: L – линейное пр-во для элементов , const

(и 8 аксиом)

пусть у1,у2 – решение (2)

рассмотрим их лин. комбинацию:

Система функций называется Л. Н., если равенство

выполняется

Л. З, если

для любых рассматриваемых ф-ций

Теорема 1 Система функций Л. З. когда одна из них является линейной комбинацией

всех остальных.

- линейно зависима

Д-во:

например

например является линейной комбинацией

Следствие: если система содержит функцию эта система Л. З.

2 вектора Л. З. когда они колиниарны

2 функции: Л. З. или ,

т. е. одна функция линейно выражается через другую

Определитель Вронского

Теорема 2 пусть система ф-ций Л. З.

их определитель Вронского , т. е.

Д-во:

Теорема 3 пусть решение ур-я (2)

или

Д-во: (n=2)

решения

Определитель Вронского для системы решений удовлетворяет дифф-му ур-ю :

допустим, при значении

- Лиувиль

Теорема 4 пусть решения ур-я (2)

система решений - Л. Н.

Теорема 5 пусть Л. Н. решения ур-я (2)

функция является общим решением (2)

чтобы выписать общее решение однородного ур-я, нужно найти

n – Л. Н. частных решений

Д-во: 1) - решение - доказано

2) при начальных условиях набор констант

начальных условиях

введем начальное условие:

получим систему n – го порядка относительно констант

система (***) имеет единственное решение , т. е. константы определяются единственным образом.

Теорема 6 Л. Н. решения ур-я (2)

- решение (1)

общее решение неоднородного уравнения (1)

( здесь общее решение (2) )

Д-во: 1) - решение (1)

- решение (1)

2) подставим начальные условия:

Уравнения с постоянными коэффициентами

(2.1) однородное уравнение 2го порядка

подберем так, чтобы было решением

1)

2)

Теорема 7 если функция является решением однородного ур-я (2)

тоже являются решениями (2)

Д-во:

отделим действительную часть от мнимой:

из Т. следует, что в качестве решения можем брать действительную и мнимую части:

3) есть только одно решение