Дифференциальные уравнения (стр. 3 )

подберем второе решение, чтобы не являлось Const

многочлен n-ной степени

пусть - корень уравнения (3) кратности m

ф-ция: решение (2)

если n - кратный корень, то есть m Л. Н. частных решений.

Решение неоднородного уравнения.

(1)

(2)

- общее решение (2)

Метод вариации произвольных постоянных.

- решение (1) ищем в этом виде.

Пусть =0 ->

= f(x)

(3) -> единственное решение.

= 0

y1 y2

= W(y1,y2)0

В общем виде:

Пусть - общее решение ,

Тогда - общее решение ,

где

(3)

Пример 1.

Решение.

1) = 0;

2) y =C1(x)cos x + C2(x) sin x

y = cos x + sin x + (cos x + tg x sin x).

Ответ. y = cos x + sin x + (cos x + tg x sin x).

Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.

(1)

(2)

(3)

I. не корень характеристического уравнения.

ищем в виде:

тогда

(*)

II. или , k1k2

ищем в виде:

(**)

Ш. =k2=-p/2

ищем в виде:

(***)

2) f(x)= (Pn(x) cosx + Qn(x)sinx) n- старшая из степеней.

I. +i

= (Un(x) cosx + Vn(x)sinx)

II. +i

=x* (Un(x) cosx + Vn(x)sinx)

Пример 2.

Решение.

1)

2)

Ответ. .

Пример 3.

Решение.

1)

2)

Ответ.

Пример 4.

Решение.

1)

2)

Ответ. .

Пример 5.

1)

2)

=A cos x+ B sin x

=-A sin x+ B cos x

=-Acos x – B sin x

-Acos x – Bsin x – 2Asin x + 2Bcos x+5Acos x +5Bsin x = 2cos x

cos x(-A+2B+5A)=2cos x +sin x (B+2A-5B)

-A+2B+5A=2

4A+2B=2

2A+2B=1

B=1/5, A=2/5;

y = 2/5 cos x +1/5 sin x