Дифференциальные уравнения (стр. 5 )

(4)

1) (4) имеет n корней

=> , j=1,…,n.

лин. независимые решения (2)

2) (4) имеет кратные корни.

Пусть - корень кратности

ему соответствуют собственные векторы

2.1) k=m

лин. независимые решения (2)

2.2) k<m

=> частное решение ищется в виде

3 4 -2

A= 1 0 1

6 -6 5

 

-1- 4 -2

1 - 1

6 -6 5-

(-3-) ( -5 +6) -4(5--6) -2(-6+6)=0

-(+3)( 2 -5 +6) +8 +16

(+3)( -2)( -3) +8(-2)=0

=2 2 -9 +8=0 =1

Метод вариации произвольных постоянных.

(1)

(2)

Пусть

- однородное решение (2), будем искать однородное решение (1) в виде .

(3)

Определи– определитель Вронского для системы т. к.в 0 не обращаются, то (3) имеет единственное решение.

(4)

Примеры:

1) , , ,

, , .

а)

б)

, ,

,

, ;

, ;

О: , ,

(1)

, где 1-кратность собственного числа .

2)

, , ,

a)

б)

, ,