Дифференциальные уравнения (стр. 4 )

y =

Ответ. y=.

Пример 6.

1)

2)

=x (Acos 2x + Bsin 2x)

=(-2Asin 2x+2Bcos 2x)x + Acos 2x+ Bsin 2x

= - 2Asin 2x + 2Bcos 2x + x(-4Acos 2x – 4Bsin 2x) + Acos 2x +Bsin 2x.

-2Asin 2x+ 2B cos 2x + Acos 2x + Bsin 2x = 0

(-2A+B)sin 2x + (2B+A)cos 2x=0.

A=0, B=1/4;

=x(1/4 sin 2x).

Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.

Ответ. Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.

Теорема 8.

решение

решение

решение уравнения +

Доказательство.

Проверим:

ч. т.д.

Пример 7.

Решение.

1)

2)

f1(x) = x, =Ax+B

f2(x) = 3

(A+ C)` + 4 (Ax+B+C) = x + 3

C+4Ax+4B+4C=x +3

C=3/5, A=1/4, B=0;

y=C1cos 2x + C2sin 2x + 1/4x+ 3/5

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ.

(1)

(2)

Т.1

Если система разрешена относительно старших производных, то можно свести к нормальному виду.

Док.

пусть y=y1, y|=y2,…, y(n-1)=yn

 

Сведение дифференциальных систем уравнений к линейным

;

Аналогично

 

()

решение относительно y2,…,yn

 

Подставим в ()

 

y| = x+y+z

z| = 2x-4y-3z

y(0)=0

z(0)=0

y|| = 1+y| +z|

y|| = 1+x+y+z+2x-4y-3z

z=y| - x-y

K=-1

y0 =e-x(c1+c2x)

2)

y* Ax+B

2A+Ax+B = 5x+1

A=5

B=-9

1=c1-9 c1=10

0=-2c1+c2+14 c2=6

 

Линейные системы

 

(1)

X=(x1,…,xn)

 

…

A(t)= …

…………………………

…

(1) (2)

Общее решение однородной системы

x1,…,xn – частные лин. Независимые решения (2)

С1,…,Сn – произвольные постоянные

О. р. (1):

X=X0+X*

X0- общее решение однородной системы

X*- частные решения (1)

 

y|,…,yn – лин. Независимы =>

x|,…,xn – решение (2)

x|,…,xn лин. независимы W(x|,…,xn)

Линейные системы с постоянными коэффициентами

(1)

(2)

ищем решение (2) в виде

Если и выполняется (3), то называется собственным числом А

- собственным вектором