Геометрические задачи на экстремум без использования производных и их экономическая интерпретация (несколько примеров). Тезисы.
Авторы: Аладьин Владимир, Неделько Анна, 9 класс, Мурманский Политехнический лицей.
Научный руководитель: , профессор Мурманского областного ИПК работников образования, кандидат технических наук.
В работе обоснованы следующие утверждения:
I. Пусть в прямоугольный треугольник 
(угол 
) вписан прямоугольник
, тогда для того, чтобы площадь прямоугольника была наибольшее из всех возможных, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен катетами и средними линиями прямоугольного треугольника. Его площадь равна половине площади треугольника.
II. Пусть в прямоугольный треугольник вписана двухступенчатая фигура 
со сторонами соответственно параллельными катетам треугольника.
Площадь этой фигуры будет максимальной из всех возможных, если вершины ступеней будут делить гипотенузу на три равных отрезка.
III. Если площадь n-ступенчатой фигуры (
) вписанной в прямоугольный треугольник была наибольшей, то необходимо и достаточно, чтобы 
. Его площадь равна произведению площади треугольника на дробь 
.Если неограниченно увеличить число ступеней вписанной фигуры, то её площадь неограниченно приближается к площади треугольника .
IV. В работе дана экономическая интерпретация приведенных результатов. В частности, показано, что задача о нахождении оптимальной розничной цены в условиях монополии в предположении о линейном характере кривой спроса сводится к пункту I.
Выведены формулы: 
, П
, 
, где 
- себестоимость единицы товара, 
-цена, при которой не будет куплено не одной единицы товара, 
- цена при которой достигается наибольшая прибыль продавца, 
-количество единиц товара, которое будет куплено при нулевой цене, 
-количество товара, проданного при , П-наибольшая прибыль.
Рассмотрен случай дискриминационной политики цен (и её частные случаи: однократная и многократная уценки ), получены формулы, выражающие оптимальные розничные цены и соответствующие количества проданной продукции, а так же значения максимальной прибыли, для указанных случаев. Математической моделью служат двух и многоступенчатые фигуры, вписанные в прямоугольные треугольники. Используемые свойства доказаны в соответствующих теоремах.
V. В работе исследован важный частный случай теории ценообразования в условиях монополии. Доказана теорема о том, что при уменьшении себестоимости товара его оптимальная розничная цена также понизится.
При построении новых результатов авторы использовали литературу:
1. Экономическая школа (, , и др.)
Журнал “ Экономическая школа ”, Вып.1, 1991, вып.2, 1992, вып.3, 1993.
2. Современная микроэкономика: анализ и применение. , изд. “ Финансы и статистика” 1992.
3. Parkin M., King D. Economics. Addison-Westley Publishing Company, 1992.
4. , Мирошниченко о скользящей розничной цене. Рукопись: тезисы доклада на НТК ”Юность севера”, Мурманск 1998.
Бродский и начала анализа. Мурманск, 1994.
