Методическая разработка (стр. 3 )

по аналогии

, . (1.2)

Угловой деформацией (углом сдвига, относительным сдвигом) между направлениями х и у в точке А, обозначаемой gху, называется изменение прямого угла между направлениями АВ и АС в данной точке. Следовательно,

, (1.3)

по аналогии,

, . (1.4)

Таким образом, деформированное состояние тела в рассматриваемой точке имеет шесть независимых компонент деформаций:

(1.5)

В сопротивлении материалов и в теории упругости «деформация» имеет строгое определение в соответствии с формулами (3.3), …, (3.6) и является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности точки.

 

Рис.1.11

Деформации e и g являются безразмерными величинами. Линейная деформация измеряется также в процентах: e×100%. Деформации реальных конструкций практически лежат в пределах долей процента.

В обиходном языке под деформацией понимается вообще всякое изменение формы без количественной оценки. В связи с этим при исследовании поведения элементов конструкций под действием внешних нагрузок следует четко различать понятия деформации и перемещения. Нельзя допускать, когда абсолютное удлинение стержня, осадка витой пружины, прогиб на конце крыла самолета называют деформацией. Если какой-либо участок стержня переместился, то это вовсе не означает, что он деформируется. Например, при изгибе балки, показанной на рис.3.4,а, участок ВС, не деформируясь, перемещается в положение B'C' вследствие изгиба балки на участке АВ. Другой пример показан на рис.3.4, б. Участок стержня ВС перемещается вследствие растяжения участка АВ, но сам не деформируется.

1.1.3.Внутренние силы. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержня и соответствующие им виды деформаций. Метод сечений.

Внутренние силы – это силы возникающие как между отдельными взаимодействующими частями конструкции, так и между смежными частицами ее элементов (силы упругости).

Внутренние силы выявляются так называемым методом сечений. Задача метода сечений состоит в определении составляющих главного вектора и вектора главного момента системы внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении стержня (бруса).

Метод сечений состоит из четырех операций, которые могут быть последовательно записаны начальными буквами своих названий – РОЗУ (разрезаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем). Для решения поставленной задачи:

1.  Мысленно разрезаем интересующим нас сечением стержень (брус) на две части, например левую и правую (рис.1.14,а).

2.  Одну из частей, безразлично какую, отбрасываем и рассматриваем оставшуюся.

3.  Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся системой внутренних сил (сил упругости) (рис.1.14,б).

Рис.1.14.

Условие равновесия для внешних сил символически можно записать так:

, (1.8)

где (Рi)Λ и (Рi)П сумма внешних сил или моментов, действующих на левую или правую (от сечения А) части стержня.

Условия равновесия для левой и правой частей стержня записываются так:

; . (1.9)

Из формул (1.3) и (1.4) получаем:

. (1.10)

Равенство (1.10) показывает, что внутренние силы, расположенные по разные стороны от сечения А, равны по величине и противоположны по знаку (в соответствии с третьим законом Ньютона). Из этого следует, что внутренние силы в сечении А могут определяться либо из условий равновесия левой части мысленно рассеченного тела, либо из условий равновесия его правой части.

Внутренние силы (RА)Λ и (RА)П должны быть распределены по сечению так, чтобы его деформированные поверхности при совмещении левой и правой частей стержня в точности совпадали. Такое условие в сопротивлении материалов (и в теории упругости) носит название условие неразрывности деформаций.

Непрерывно распределенная по сечению А (оставшейся части стержня) система внутренних сил приводится к главному вектору и вектору главного момента (рис.1.15).

За точку приведения принимаем центр тяжести (т. С) или центр изгиба сечения. В точке приведения помещаем начало координат. Ось z направляем по нормали к сечению, а оси х и у располагаем в его плоскости. Приняв за точку приведения центр тяжести сечения, раскладываем и по координатным осям, в результате получаем три составляющие силы и три составляющие пары (три момента), рис.1.15, а, б.

Составляющие и рассматриваются для отсеченной части как внешние силы и моменты и называются внутренними силовыми факторами или усилиями:

N – нормальная или продольная сила в сечении;

- поперечные или перерезывающие силы;

Мк – крутящий момент;

- изгибающие моменты.

4. Уравновешиваем рассматриваемую часть стержня.

При известных внешних силах внутренние силовые факторы определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части стержня:

Рассмотрим, например, уравнение ΣFz=0. Из внутренних усилий на ось z проектируется только продольная сила N. Тогда:

,

где - сумма проекций всех внешних сил Рi, действующих на отсеченную часть стержня, на ось z. Отсюда вытекает следующее определение: продольная сила N численно равна алгебраической сумме проекций на ось z стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от проведенного сечения (рис.1.15,а).

Рис.1.15.

Аналогичны определения для Qx, Qy, Mx, My, Mк.

Понятие о нормальных и касательных напряжениях

Внутренние силы в большинстве случаев распределены по сечению неравномерно. Для того, чтобы характеризовать их величину в различных точках сечения вводится характеристика интенсивности внутренних сил, именуемая напряжением.

Напряжение является мерой внутренних сил.

Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис.1.16,а).

Рис.1.16.

В окрестности точки М выделим элементарную площадку DF. Пусть в пределах этой площадки выявлена внутренняя сила DR. Тогда среднее напряжение на площадке равно:

. (1.11)

Уменьшая площадку DF и предполагая на основании гипотезы сплошности среду непрерывной, получаем

(1.12)

Векторная величина представляет собой полное напряжение в точке М, принадлежащей сечению А. Полное напряжение может быть разложено на три составляющие (рис.1.16,б). Составляющая вектора полного напряжения по нормали (ось z) обозначается буквой s и называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются буквами tх и tу.

Совокупность напряжений s, tх, tу характеризует напряженное состояние в точке М, принадлежащей сечению А.

Основные принципы сопротивления материалов

Для полной схематизации практической задачи выбора расчетной схемы недостаточно. Когда расчетная схема выбрана необходимо принять дополнительно ряд предпосылок, являющихся развитием идеализации реального объекта. Эти предпосылки – своего рода «норма поведения» в механике деформируемых сред. Их называют руководящими правилами или принципами. В сопротивлении материалов имеется три таких принципа.

Принцип начальных размеров (принцип относительной жесткости)