Методическая разработка (стр. 5 )

На рис.1.21,а:

ℓ – расстояние между концевыми сечениями стержня до деформации;

ℓ1 – расстояние между теми же сечениями после деформации;

а – расстояние между произвольными точками (С и D, А и В) поперечного сечения стержня до деформации;

а1 – расстояние между теми же точками после деформации.

Обозначим:

– абсолютное продольное удлинение (при растяжении Δℓ > 0);

– абсолютное поперечное удлинение (при растяжении Δа<0);

– относительное продольное удлинение (продольная деформация);

– относительное поперечное удлинение (поперечная деформация);

Δℓ, Δа, ε, ε0 – деформации при растяжении (сжатии).

Коэффициентом Пуассона μ называется абсолютная величина отношения ε0 к ε

.

Следовательно

. (1.19)

Из опыта следует, что для данного материала μ – величина постоянная, являющаяся другой физической константой, определяющей его упругие свойства. Значения μ находятся экспериментально и у изотропных материалов 0 < μ < 0,5.

После определения деформаций закон Гука при растяжении (сжатии) (5.3) с учетом (5.4) может быть записан в другом виде:

(1.20)

или

, (1.21)

где EF – жесткость поперечного сечения стержня на растяжение (сжатие).

Под воздействием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве.

Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец – в соответствующей точке деформированного, называется вектором полного перемещения точки.

Отмечу, что деформации e и g являются безразмерными величинами. Линейная деформация измеряется также в процентах: e×100%. Деформации реальных конструкций практически лежат в пределах долей процента.

В обиходном языке под деформацией понимается вообще всякое изменение формы без количественной оценки. В связи с этим при исследовании поведения элементов конструкций под действием внешних нагрузок следует четко различать понятия деформации и перемещения. Нельзя допускать, когда абсолютное удлинение стержня, осадка витой пружины, прогиб на конце крыла самолета называют деформацией. Если какой-либо участок стержня переместился, то это вовсе не означает, что он деформируется.

Закон Гука при одноосном растяжении-сжатии. Перемещения поперечных сечений стержня и его удлинение.

На основании многочисленных экспериментальных исследований установлено, что все виды перемещений твердого тела при его нагружении в определенных пределах пропорциональны действующим силами. Эта закономерность была установлена Р. Гуком в 1660 году.

Рассмотрим перемещение fА произвольной точки А балки, при нагружении силой Р.

В соответствии с законом Гука

, (1.22)

где dАР – коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

В частном случае при Р=1 коэффициент dАР представляет собой перемещение точки А от силы Р=1. Коэффициент dАР зависит от физических свойств материала и от геометрических особенностей системы, в частности от взаимного расположения точки А и точек приложения сил.

Выражение (1.22) представляет собой закон Гука для системы.

Линейная зависимость между силами и перемещениями сохраняется как при возрастании нагрузки, так и при убывании, а тело полностью восстанавливает свои первоначальные размеры и форму после устранения внешних сил.

Свойство твердых тел изменять свою форму и объем под влиянием физических воздействий, связанных с возникновением внутренних сил, и полностью восстанавливать первоначальное состояние после устранения этих воздействий называют упругостью.

Закон Гука в современной трактовке определяет линейную зависимость не между силами и перемещениями, а между напряжениями s, t и деформациями. Коэффициентами пропорциональности в этом случае являются константы материала, которые определяются экспериментальным путем. Сам же закон Гука выражает свойства материала.

Линейная зависимость между силами и перемещениями или между напряжениями и деформациями, определяемая законом Гука, справедлива в определенном диапазоне действующих сил или напряжений. За пределами этого диапазона указанная линейная зависимость нарушается; материал проявляет свойства текучести, пластичности, ползучести, которые изучаются в специальных курсах.

Техника построения эпюр в стержне при силовом нагружении

Для оценки прочности конструкции недостаточно знать внутренние силовые факторы (ВСФ) в каком-то одном сечении. Необходимо представлять, как эти ВСФ распределены по различным сечениям, чтобы определить опасное сечение.

Опасное сечение – это поперечное сечение, в котором действуют наибольшие ВСФ.

В простейших случаях нагружения, определить опасное сечение нетрудно. Например, на рис.1.20,а опасным сечением будет сечение А у заделки, так

а) б)

Рис.1.24.

как здесь действует максимальный изгибающий момент, равный МА = Р·ℓ.

Для сложных случаев нагружения необходимо знать закон изменения ВСФ по длине стержня. Этот закон можно изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами.

Эпюра – это график, изображающий закон изменения ВСФ по длине стержня.

Силовой участок – участок стержня, в пределах которого характер нагрузки не изменяется.

Вычисляем значения ВСФ на границах силовых участков и строим эпюры, откладывая ординаты перпендикулярно оси (нулевой линии) эпюры. Ось эпюры параллельна оси рассматриваемого стержня.

Построение эпюр продольных сил

При построении эпюр продольных сил N пользуются следующими правилами:

1.  продольная сила N считается положительной, если она вызывает растяжение, т. е. действует от сечения и отрицательной, если она вызывает сжатие, т. е. действует к сечению. Поэтому сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком;

2.  неизвестная продольная сила N всегда предполагается растягивающей.

Пример 2.1. Построить эпюру N (рис.1.25).

Рис.1.25.

Разбиваем стержень на силовые участки (I, II, III) и на каждом из них, применяя метод сечений (РОЗУ), вычисляем значения продольной силы:

I участок: м

ΣΖ = 0 - Ν1 + 6Р = 0 N = 6Р

линия 0-го порядка

II участок: м

ΣΖ = 0 - Ν2 – 8Р + 6Р = 0 N2 = -2Р

линия 0-го порядка

III участок: м

ΣΖ = 0 - Ν3 + 3Р – 8Р+ 6Р = 0 N3 = Р

линия 0-го порядка

Строим эпюру продольной силы N.

Примечание:

1.  Начало координат вводится в начале каждого силового участка;

2.  При наличии заделки проще идти от свободного конца;

3.  Нетрудно видеть, что в любом сечении стержня продольная сила N равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от проведенного сечения;

4.  В точке приложения внешней силы на эпюре N имеется скачок на величину и в направлении действия этой силы.

Построение эпюры N усложняется, если стержень нагружен вдоль своей оси распределенной нагрузкой q(z).

Пример 2.2. Построить эпюру N (рис.1.26)

Разбиваем стержень на силовые участки (I, II) и на каждом из них, применяя метод сечений, вычисляем значения продольной силы как алгебраическую сумму внешних сил, действующих на отсеченную часть:

Рис.1.26.

I участок: 0≤z1<4 м

N1 = q∙z1 + 5P при z1 = 0 N1 = 5Р

линия 1-го порядка при z1 = 4 м

II участок: 0≤z2<2 м

N2 = - 3Р + q∙4 + 5P = 4P

линия нулевого порядка

Строим эпюру N.

1.2.2. Расчет статически определимых стрежневых систем. Учет собственного веса.

При рассмотрении изолированного стержня, нагруженного внешними силами, нормальные (продольные) силы N определяется методом сечений из условия равновесия отсеченной части.