Методическая разработка (стр. 4 )

при составлении уравнений статики (уравнений равновесия) тело рассматривается как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения.

Справедливость принятия данного принципа основана на том, что в большинстве случаев деформации элементов конструкции невелики. Вследствие этого перемещения отдельных точек по сравнению с основными размерами конструкции весьма малы (рис.1.17).

Момент в заделке равен:

Рис.1.17.

Так как горизонтальное перемещение fг точки приложения силы Р мало по сравнению с длиной ℓ ( fг<<ℓ), то в соответствии с принципом начальных размеров им можно пренебречь ( fг ≈ 0) и тогда

Изложенный принцип не может применяться в случае больших перемещений. Кроме того, как исключение принцип не может применяться и при малых перемещениях, если при этом форма системы меняется существенным образом.

Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции):результат действия на конструкцию системы сил не зависит от порядка их приложения и равен сумме результатов действия отдельных сил, входящих в систему общего нагружения (рис.1.18)

Рис.1.18.

Принцип Сен-Венана:

распределение напряжений в рабочей части стержня не зависит от способа приложения нагрузки (рис.1.19).

В соответствии с принципом Сен-Венана центральная часть стержней во всех случаях будет нагружаться одинаково. Эта центральная часть и будет являться расчетной схемой для всех случаев нагружения, представленных на рис.3.8.

Методами математической теории упругости можно исследовать распределение внутренних усилий в местах изменения формы стержней, в зоне резьб, отверстий, утолщений и т. д. Исследования показывают, что особенности в распределении внутренних усилий проявляются в зонах ограниченной протяженности, близких к наибольшему размеру поперечного сечения стержня (на рис.1.19,г размер d).

В качестве примера на рис.1.19 показаны результаты решения задачи о растяжении бруса квадратного сечения силой Р, которая реализуется на концах различными способами.

Рис.1.19.

Из приведенных рисунков видно, что только в случае равномерно распределенной нагрузки р = Р/F все линии сетки остаются прямыми (рис.1.19,в). Для других случаев (рис.1.19, а, б) сечения вблизи концов бруса искажаются, при этом возникают большие местные деформации и напряжения.

Рис.1.20.

По мере удаления поперечных сечений от места приложения сил на расстояние примерно равное наибольшему размеру поперечного сечения (диагонали), напряженное состояние во всех трех случаях можно считать одинаковыми.

Данный принцип выдвинут французскими учеными Сен-Венаном в 1855 году для упрощения решения прочностных задач.

1.2. Центральное растяжение-сжатие прямого бруса.

1.2.1. Построение эпюр продольных сил. Нормальные напряжения в поперечном сечении. Продольные и поперечные деформации, коэффициент Пуассона. Закон Гука при одноосном растяжении-сжатии. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

Рассмотрим растянутый стержень (призматический), нормальное усилие в поперечных сечениях которого – постоянно (рис.1.21). Опыт показывает, что линии АВ и CD, нанесенные на поверхности стержня, лежащие в поперечных сечениях до деформации, после деформации займут соответственно положения А'B' и С'D', лежащие в поперечных сечениях. При сжатии стержня будет наблюдаться аналогичное явление.

Это наблюдение позволяет сформулировать предположение, называемое гипотезой Бернулли:

при растяжении и сжатии призматического стержня, нормальное усилие в поперечных сечениях которого постоянно, сечения плоские и нормальные к оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси после деформации.

Справедливость гипотезы Бернулли подтверждается решением задачи о растяжении (сжатии) призматического стержня при N=const методом теории упругости.

Из гипотезы Бернулли следует, что элемент у произвольной точки стержня М с ортогональными гранями, лежащими до деформации в продольных и поперечных сечениях (на рис.1.21,а этот элемент заштрихован), после деформации будет иметь ортогональные грани, лежащие в продольных и поперечных сечениях. Следовательно, для вырезанного из стержня элемента (рис.1.21,б) угловая деформация равна нулю, т. е:

. (1.13)

И на основании последних трех уравнений обобщенного закона Гука по его граням касательные напряжения отсутствуют:

. (1.14)

Кроме этого, на основании результатов анализа (1.14) считают, что при растяжении (сжатии) продольные волокна друг на друга не давят и по граням

Рис.1.21.

элемента, лежащим в продольных сечениях стержня нормальные напряжения равны нулю.

Таким образом, в любой точке растянутого стержня для элемента (рис.1.17,б) отличным от нуля будет единственный компонент напряженного состояния sх. Причем sх=s1=s будет главным напряжением (при сжатии sх=s3=s).

Так как на основании гипотезы Бернулли продольные деформации e=eх всех волокон одинаковы, а sу=sz=0, то из первого уравнения обобщенного закона Гука следует, что

нормальные напряжения s во всех точках поперечного сечения равны (распределены по сечению равномерно) и между ними и деформацией существует связь

, (1.15)

именуемая законом Гука при растяжении (сжатии).

Здесь Е – модуль продольной упругости материала – одна из его физических констант, характеризующая способность сопротивляться упругому деформированию и определяемая экспериментально.

Проводя в стержне произвольное сечение m-m, рассмотрим равновесие его левой части и из определения продольной силы получим (рис.1.22)

или

, (1.16)

где F – площадь поперечного сечения стержня.

Рис.1.22.

Напряженное состояние призматического стержня при растяжении (сжатии) и N=const называется однородным (одинаковым во всех точках) и в любой его точке одноосным или линейным.

Как показывают решения задач о растяжении (сжатии) призматического стержня методами теории упругости, формулой (1.16) можно пользоваться и при переменном нормальном усилии (N=var) в поперечных сечениях стержня.

Рис.1.23.

Нормальная сила, дифференциальная зависимость ее от внешней нагрузки, нормальные напряжения в поперечных сечениях

Внутренние силы в большинстве случаев распределены по сечению неравномерно. Для того, чтобы характеризовать их величину в различных точках сечения вводится характеристика интенсивности внутренних сил, именуемая напряжением.

Напряжение является мерой внутренних сил.

Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис.1.19,а).

В окрестности точки М выделим элементарную площадку DF. Пусть в пределах этой площадки выявлена внутренняя сила DR. Тогда среднее напряжение на площадке равно:

. (1.17)

Уменьшая площадку DF и предполагая на основании гипотезы сплошности среду непрерывной, получаем

(1.18)

Векторная величина представляет собой полное напряжение в точке М, принадлежащей сечению А. Полное напряжение может быть разложено на три составляющие (рис.1.19,б). Составляющая вектора полного напряжения по нормали (ось z) обозначается буквой s и называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются буквами tх и tу.

Совокупность напряжений s, tх, tу характеризует напряженное состояние в точке М, принадлежащей сечению А.

Продольные и поперечные деформации, коэффициент поперечной деформации. Перемещения поперечных сечений стержня и его удлинение