Численные методы (стр. 11 )

. Рассмотрим частные случаи и .

Линейная аппроксимация .

.

;

, .

Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:

.

Её можно решить методом Крамера.

Квадратичная аппроксимация .

.

.

.

, .

Или в развёрнутом виде

Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.

Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.

	1	2	3	4	5
	1	2	3	4	5
	-1	1	2	4	6

Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .

Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:

.

Решая эту систему, получим:

.

.

Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:

.

И коэффициенты равны:

. Тогда

.

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3

	0	1	2	3	4
	1	2	3	4	5
	-1	1	2	4	6
	-1	0,7	2,4	4,1	5,8
	-1	0,62	2,24	4	6,9

Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:

.

.

4.2. Построение интерполяционных многочленов

Пусть на отрезке в некоторой последовательности узлов задана функция своими значениями , где . Задача алгебраического интерполирования состоит в построении многочлена степени , удовлетворяющего условию интерполирования: .

Известно, что существует единственный полином степени не выше , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициенты полинома можно определить из системы уравнений:

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Пример. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функцией в точках .

Решение. Пусть , поэтому имеем

.

Отсюда .

Поэтому при .

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени : .

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного , где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

.

Действительно, . При числитель выражения равен 0. По аналогии получим:

,

.

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

.