Численные методы (стр. 9 )

Окончательный ответ: и .

3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений

Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений с заданной точностью

.

Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде: . Пусть и – начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо дру­гим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений, мож­но получить

Аналогично можно получить второе приближение

В общем случае Если функции и

непрерывны и последовательности и сходятся, то пределы их дают решение приведенной, следовательно, и исходной системы.

Сходимость метода

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и толь­ко одно решение и приведенной системы.

Тогда если:

1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ;

2) начальные приближения , и все последующие приближения , при­над­лежат ;

3) в выполнены неравенства или

неравенства , то процесс последовательных приближений сходится к решению , .

Оценка погрешности -го приближения определяется неравенством:

,

где – наибольшее из чисел и , входящих в эти неравенства.

Сходимость метода считается хорошей, если ; при этом . Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.

Пример. Методом итерации решить систему с точностью до .

Решение.

1) Приведем систему к форме:

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика и и най­дя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в об­ласти и .

3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:

Следовательно,

и т. е. условия сходимости выполняются.

4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:

Выберем следующие начальные значения: .

	0,15	0,1616	0,1508	0,1539	0,1510	0,1519	0,1510
	-2	-2,035	-2,0245	-0,0342	-2,0313	-2,0341	-2,0333

Поскольку , то и .

3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем

Сущность метода скорейшего спуска заключается в том, что искомое решение системы рассматривается как минимум некоторой функции в -мерном пространстве , и этот минимум ищется в направлении, противоположном направлению градиента функции , то есть в направлении скорейшего убывания этой функции. Фунция связана с функциями исходной системы соотношениями:

.

Пусть точка является начальным приближением к искомому решению. Через эту точку проводится поверхность уровня , а также нормаль к данной поверхности, которая указывает направление скорейшего убывания функции . Точка, в которой нормаль касается новой поверхности уровня , будет следующим приближением к исходному решению. Нормаль, проведенная к этой поверхности через точку , даёт возможность дойти до точки , в которой нормаль касается какой-то другой поверхности , и т. д.

Так как , где то последовательность точек , , … приведет к минимальному значению функции , т. е. к искомому решению исходной системы.

Последовательные приближения определяются из матричного равенства , где через обозначен вектор в -мерном пространстве, указывающий координаты точки , т. е. значение -го приближения; – параметр, характеризующий изменение функции вдоль соответствующей нормали, – градиент функции в точке .