Численные методы (стр. 13 )

Пример. Задана таблица. Найти .

х
	0,2588
		0,0832
	0,3420		-0,026
		0,0806		0,0006
	0,4226		-0,032
		0,0774		0,0006
	0,5		0,038
		0,0736
	0,5736

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

где и

где .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

,

где

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

.

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем

,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х	у
50	1,6990
		0,0414
55	1,7404		-0,0036
		0,0378		0,0005
60	1,7782		-0,0031
		0,0347
65	1,8129

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского

Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А:

после преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р:

,

то есть , где – неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем:

.

Вначале нужно строку привести в строку . Предполагая, что , разделим все элементы – го столбца матрицы А на . Тогда её -ая строка примет вид

.

Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа , из всех остальных ее столбцов.

В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0.

Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу

,

где при . (1)

. (1')

Эти операции равносильны умножению справа матрицы на матрицу А.

, (2)

где при ,

при . (2')

Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на слева: .

Очевидно, обратная матрица имеет вид

.

Обозначим , то есть

,

где (3)

при , (3')